Algoritmos paralelos para conectividade st direcionada

Chong, Han e Lam mostraram que a conectividade st não direcionada pode ser resolvida no EREW PRAM no tempo com os processadores . Qual é o algoritmo paralelo mais conhecido para conectividade st direcionada ? Indique o tempo de execução, o algoritmo determinístico / aleatório e o modelo PRAM usado (assumindo que o número de processadores seja polinomial). Existem algoritmos paralelos no tempo conhecidos por casos especiais de conectividade st direcionada? $O({\log}n)$ $O(m+n)$ $o({\log}^2{n})$

dc.parallel-comp

— Shiva Kintali
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A Wikipedia diz que os processadores poli (n) + tempo de polilog em um EREW PRAM são os mesmos do NC. Não estou muito familiarizado com o modelo EREW PRAM, mas há uma conexão entre

time (e polinomialmente muitos processadores) e

? Em outras palavras, existe uma maneira de reformular sua pergunta em termos de circuitos de profundidade limitada?

(\log n)^{i}

$(\log n)^i$

N C^{i}

$NC^i$

— Robin Kothari

os diferentes modelos de RAM paralela são fatores equivalentes até o log, portanto, embora o EREW PRAM corresponda a NC, isso pode não ser verdadeiro para poderes de log específicos.

— Suresh Venkat

Com restrições apropriadas no conjunto de instruções, o tempo O (log ^ in) em um CRCW PRAM é exatamente uniforme AC ^ i, para i> = 1.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Se houver um caminho

direcionado , é possível encontrá-lo?

s - t

$s-t$

— Kumar

Respostas:

A acessibilidade direcionada pode ser feita facilmente usando processadores O ( ) e tempo O ) em um CRCW-PRAM ou em processadores O ( ) e tempo O ( ) e tempo O ( ) em um EREW-PRAM em que é a multiplicação expoente matriz e é o número de vértices. O artigo a seguir reivindica O ( ) e O ( $n^3$ $(\log n$ $n^\omega$ $\log^2 n$ $\omega<2.376$ $n$ $n^\omega$ $\log n$ ) em um CREW-PRAM: "Algoritmos paralelos ótimos para fechamento transitivo e localização de pontos em estruturas planares" de Tamassia e Vitter. Outros trabalhos afirmam a mesma coisa e citam a pesquisa de Karp e Ramachandran (algoritmos paralelos para máquinas de memória compartilhada, em: J. van Leeuwen (Ed.), Handbook of Theoretical Computer Science). A própria pesquisa menciona que o fechamento transitivo está no AC1 e, portanto, pode ser resolvido em O (log n) em um CRCW-PRAM, mas falta a parte sobre o CREW-PRAM.

Todos os algoritmos do tipo Strassen para multiplicação de matrizes (incluindo o de Coppersmith-Winograd) são essencialmente algoritmos paralelos que são executados no tempo O ; o fechamento transitivo incorre em um log extra (mas se você permitir fan-in ilimitado, a trivial matriz O ( ) mult pode ser feita em profundidade constante e, portanto, a acessibilidade está no tempo O em um CRCW-PRAM). É um problema aberto para melhorar o número de processadores dos melhores atuais ~ ; também é um grande problema em aberto se a acessibilidade estiver no NC1, pois implicaria L = NL, entre outras coisas. $(\log n)$ $n^3$ $(\log n)$ $n^{2.376}$

— virgi
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Você pode adicionar as referências.

— Shiva Kintali

Eu só sei sobre o tempo O (log n) em um CRCW PRAM. Foi isso que você quis dizer?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

O (logn) no CREW é ótimo. É isso que estou procurando. Eu gostaria de aceitar sua resposta. Por favor, adicione a referência.

— Shiva Kintali

Precisamos de iterações O (logn) da multiplicação de matrizes para resolver a conectividade st.

— Shiva Kintali 26/09/10

Em termos de algoritmos paralelos, você precisa de O (log n) iterações da matriz mult para resolver a acessibilidade; esse não é o caso de algoritmos seqüenciais, pois você pode fazer algumas coisas recursivas inteligentes (ver Fisher & Meyer'71). No entanto, se seu modelo de computação permitir fan-in ilimitado (como no AC1 e, portanto, CRCW PRAM), a matriz mult pode ser feita em profundidade constante e, portanto, o fechamento transitivo pode ser feito em profundidade logarítmica.

— virgi 26/09/10

O livro "Uma Introdução aos Algoritmos Paralelos", de Joseph Jája (1992), lista os seguintes resultados para o fechamento transitivo:

$O(\log n)$ $O(n^3 \log n)$
$O(\log^2 n)$ $O(n^\omega \log n)$

$O(\log n)$

$u$ $v$ $u$ $v$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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Portanto, parece que encontrar um algoritmo paralelo no tempo (log ^ 2 {n}) no CREW PRAM para gráficos direcionados gerais é um problema em aberto.

— Shiva Kintali 26/09/10

Note que eu disse o (log ^ 2 {n}) e não O (log ^ 2 {n}).

— Shiva Kintali

Você se preocupa em manter o trabalho pequeno, não apenas polinomial; há um elegante algoritmo de Ullman e Yannakakis que permite compensações de tempo / trabalho. A Tabela 1 do meu artigo sobre computação de componentes fortemente conectados em paralelo resume os resultados da conectividade direcionada paralela que eu conheço: http://www.cs.brown.edu/~ws/papers/scc.pdf .

— Warren Schudy
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