Transformação escassa de Walsh-Hadamard

A transformada de Walsh-Hadamard (WHT) é uma generalização da transformada de Fourier e é uma transformação ortogonal em um vetor de números reais ou complexos de dimensão . A transformação é popular na computação quântica, mas foi estudada recentemente como uma espécie de pré-condicionador para projeções aleatórias de vetores de alta dimensão para uso na prova do Lema Johnson-Lindenstrauss. Sua principal característica é que, embora seja uma matriz quadrada , ela pode ser aplicada a um vetor no tempo (em vez de ) por um método semelhante à FFT. $d = 2^m$ $d\times d$ $O(d \log d)$ $d^2$

Suponha que o vetor de entrada seja escasso : ele possui apenas algumas entradas diferentes de zero (digamos ). Existe alguma maneira para calcular a WHT em tempo de modo a que e para ? $r \ll d$ $f(r,d)$ $f(d,d) = O(d \log d)$ $f(r,d) = o(d \log d)$ $r = o(d)$

Nota: esses requisitos são apenas uma maneira de formalizar a ideia de que eu gostaria de algo que seja executado mais rapidamente que para pequeno . $d \log d$ $r$

ds.algorithms linear-algebra

— Suresh Venkat
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Estou certo de que você está ciente das duas observações fáceis a seguir, mas, de qualquer forma, as anotarei para outros leitores: (1) Uma multiplicação direta fornece tempo O (r). É melhor que O (d log d) somente quando r = o (log d). (2) Mesmo que o vetor de entrada seja esparso, a saída não é esparsa em geral. Isso significa que não podemos esperar que f (r, d) seja o (d) mesmo para r = 1.

— Tsuyoshi Ito

Você sabe qual é a resposta para a mesma pergunta para a transformação de Fourier?

— Robin Kothari

Tsuyoshi: Sim, eu conheço (1) e é isso que é feito para aplicativos que precisam disso. quanto a (2) isso também é verdade. Robin, esse é um bom argumento - não sei nada sobre o FT e, de fato, pode ser um bom lugar para começar a cavar.

— Suresh Venkat

Acontece que eu deveria estar procurando na wikipedia. a página da FFT menciona dois artigos que podem estar relacionados ao problema de computação esparsa.

— Suresh Venkat

$0 \le x \lt d$ $(-1)^{\langle x,y \rangle}$

Exemplo:

d = 4.

WHT H é

++++
+-+-
++--
+--+

O conjunto arbitrário de colunas é 00 e 10 (mais à esquerda e duas a mais):

++
++
+-
+-

Blocos de linha são

++
++

--
--

$(a,b)^T$ $(a+b,0)^T$

++
+-

$(a,b)^T$ $(-a-b,0)^T$

++
+-

— Martin Strauss
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