Mundos relativos aos quais "geradores invulneráveis" não existem

Geradores invulneráveis ​​são definidos da seguinte maneira:

Seja uma relação NP e seja uma máquina que aceite . Informalmente, um programa é um gerador invulnerável se, na entrada , produz pares de testemunhas de instância , com , de acordo com uma distribuição sob a qual qualquer adversário em tempo polinomial que recebe falha em encontrar uma testemunha de que , com probabilidade perceptível, por infinitos comprimentos .$R$$M$$L(R)$$1^n$$(x, w) \in R$$|x| = n$$x$$x \in S$$n$

Geradores invulneráveis, definidos pela primeira vez por Abadi et al. , encontrou muitas aplicações em criptografia.

A existência dos geradores invulneráveis ​​é baseada na suposição de que , mas isso possivelmente não é suficiente (consulte também o tópico relacionado ).$\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$

Teorema 3 de Abadi et al. O artigo, citado acima, mostra que qualquer prova da existência de geradores invulneráveis ​​não relativiza:

Teorema 3. Existe um oráculo tal que e geradores invulneráveis ​​não existem em relação a B.$B$$\mathbf{P}^B \neq \mathbf{NP}^B$

Não entendo parte da prova desse teorema. Vamos denotar a operação de união disjunta . Seja a linguagem completa do PSPACE de fórmulas booleanas quantificadas satisfatórias e seja um conjunto de sequências extremamente esparsas de máxima complexidade Kolmogorov. Especificamente, contém uma sequência de cada comprimento , onde a sequência é definida por: , é exponencial em , para ; se e , então$\sqcup$$QBF$$K$$K$$n_i$$n_1, n_2, \ldots$$n_1 = 2$$n_i$$n_{i-1}$$i > 1$$x \in K$$|x| = n$$x$tem complexidade Kolmogorov .$n$

O artigo afirma que, em relação a , ele mantém . Você pode explicar? (Além disso, esclareça se é recursivo.)$B = QBF \sqcup K$$\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$$B$

Se eles estivessem simplesmente falando sobre a complexidade Kolmogorov (sem limite de recursos), seria incontestável (caso contrário, você poderia usar uma máquina que computa para fornecer descrições curtas das cadeias , pois tudo o que você precisa fazer é descrever a máquina e o comprimento de , e temos ainda ), portanto, seria uncomputable bem.$K$$K$$x \in K$$n$$x$$K(x) = n$$K(n) \leq \log n$$B$

No entanto, o artigo Abadi et al. A referência ( Hartmanis. Complexidade generalizada de Kolmogorov e a estrutura de cálculos viáveis. FOCS 1983. ) usa uma versão Kolmogorov complexed-bounded version. Seja uma eficiente máquina universal de Turing. Defina para serem os conjuntos de cadeias modo que exista uma cadeia de comprimento tal que e o cálculo de levam no máximo . No topo da segunda coluna da pág. 444 desse artigo, Hartmanis descreve como usar esse conceito para construir um oráculo (computável) em relação ao qual$U$$K_U[f(n), g(n)]$$x$$d$$|d| \leq f(|x|)$$x = U(d)$$U(d)$$g(|x|)$$P \neq NP$.

Aqui está a ideia de Hartmanis, adaptada ao Abadi et al. resultado. Deixe e (que acredito ser a função que você descreveu). Pela diagonalização padrão (por exemplo, como no teorema da hierarquia de tempo), construa um conjunto de registros modo que e . Agora coloque a primeira cadeia de comprimento de em iff . Como , temos .$tow_3(1)=2$$tow_3(n+1)=2^{2^{2^{n}}}$$C$$C \subseteq \{1^{tow_3(n)} : n \geq 1\}$$C \in TIME[n^{\log n}] - P$$tow_3(n)$$K[\log n, n^{\log n}] - K[\log n, n^{\log \log n}]$$K$$1^{tow_3(n)} \in C$$C = \{1^n : (\exists x)[|x|=n \text{ and } x \in K]\}$$C \in NP^{K}$

Também temos , portanto, . Suponha, por uma questão de contradição, que . Depois, há uma máquina oráculo poli-tempo tal que . Eu afirmo que isso implica (sem o oráculo!), Contrariando a construção de . Aqui está o algoritmo poly-time: na entrada :$C \notin P^{K}$$P^K \neq NP^K$$C \in P^{K}$$M$$C = L(M^K)$$C \in P$$C$$x = 1^{tow_3(n_0)}$

1. Calcular todas as strings em de comprimento estritamente menor que. Isso pode ser feito em tempo polinomial, porque todas essas cadeias possuem comprimento no máximo, e precisamos apenas testar o cálculo de em cadeias ainda menores , por períodos de tempo ainda muito pequenos em comparação com.$K$$|x|$$\log \log \log |x|$$U(d)$$d$$|x|$

2. Execute , simulando consultas do oracle para cadeias menores com os resultados de (1). Se alguma vez consultar uma sequência de comprimento, simule essa consulta com uma resposta "NÃO".$M(x)$$M(x)$$|x|$

A etapa de razão (2) trabalha que, para comprimentos de entrada suficientemente grandes, se houver uma string com esse comprimento, não pode consultar , portanto podemos simular todas essas consultas com uma resposta NO. Se o fizesse consulta , então teríamos (onde limita o tempo de execução de ), contradizendo o fato de que nós escolhemos ser não em .$y \in K$$M^K$ $y$$y$$y \in K[\log n, n^k]$$n^k$$M$$y$ $K[\log n, n^{\log \log n}]$