Relação entre ESPAÇO (n) e E

Sabe-se se ESPAÇO (n) (a classe de linguagens reconhecida por TMs determinísticas com espaço linear) é um subconjunto apropriado de E (a classe de linguagens reconhecida por TMs determinística no tempo 2 ^ O (n))?

Se de fato DSPACE (n) = E, um argumento de preenchimento traduziria isso para PSPACE = EXP. Da mesma forma, se DSPACE (n) E, um argumento de preenchimento traduziria isso para L ≠ P.$\neq$$\neq$

Nota antes de ler

A seguinte prova é falha, como apontado em um comentário abaixo por Robin Kothari. Sou grato a ele por esclarecer o ponto. No entanto, não removi esta resposta, pois acho instrutivo estar ciente de tal falha.

Eu acho que a parte "apropriada" pode ser provada usando teoremas da hierarquia de tempo e espaço. (Veja as seções 7.2 e 7.3 da Complexidade Computacional de Papadimitriou ).

Para uma função construtível no tempo e no espaço , temos:$f(n) \ge n$

$DSPACE(f(n)) \subseteq NSPACE(f(n))$

$\exists k \quad NSPACE(f(n)) \subseteq DTIME(k^{\log n + f(n)})$

$DTIME(f(n)) \subset DTIME(f(n)\log^2 f(n))$

( indica subconjunto apropriado .)$\subset$

Portanto, para a função linear , existe um k tal que:$f(n)=n$$k$

$DSPACE(n) \subseteq DTIME(k^{\log n + n}) \subseteq DTIME(k^{2n}) \subset DTIME((k^{2n})(\log^2 (k^{2n})))$

O lado direito é um subconjunto adequado de E.

O zoológico da complexidade relata que E não é igual ao PSPACE, citando o artigo Comparando classes de complexidade de Ronald V. Book.

As seguintes frases podem ser facilmente derivadas:

ESPAÇO (n) é um subconjunto apropriado do PSPACE. (1) A
união PSPACE E não está vazia. 2)

Se, em vez de E, tivéssemos EXPTIME, seria fácil deduzir que SPACE (n) é um subconjunto adequado de EXPTIME, devido a (1) e que PSPACE é um subconjunto de EXPTIME.

Para E, a relação entre PSPACE e E não é clara para mim:

1) E está contido no PSPACE?

Caso contrário, segue-se que ESPAÇO (n) é um subconjunto adequado de E. Para verificar isso, é necessário criar um problema que use mais que o espaço linear e menos que o tempo O (2 ⁿ ).

2) O PSPACE está contido em E?

Isso, acredito, é ainda mais difícil de responder do que a pergunta anterior.