Publico uma atualização como resposta automática apenas para mantê-la distinta da pergunta ( que ainda está aberta ).
Como mostrado nos comentários (graças a Tsuyoshi Ito), o problema é solucionável em tempo polinomial para caminhos:
Win(Pn)=1(nmod34)∈{3,7,23,27}
A partir de 0, a sequência (calculada) dos valores nim é periódica:
0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated
Não trabalhei em uma prova matemática rigorosa, mas a ideia é:
suponha que desejamos calcular o elemento , o primeiro movimento (escolha uma aresta) pode dividir o caminho em maneiras diferentes (n-2,0), (n-3, 1), (n-4,2), ...). O novo valor nim é igual a:Win(Pn),n=k∗34+x(k≥4,0≤x<34)⌈n/2⌉
mex{Pn−2+P0,Pn−3+P1,...,P⌈n/2⌉+Pn−⌈n/2⌉}
Os primeiros 34 elementos do conjunto são produzidos pela primeira sequência não repetida (0,1,1,0, ...) (nim) somada aos elementos da sequência repetida na ordem inversa, a partir do elemento .(34−2−x)mod34
Por exemplo: para :x=0
0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4
Para x = 0..33, a sequência mex resultante é igual à sequência de repetição:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
Os elementos restantes do conjunto são calculados apenas na (s) sequência (s) de : (para os pares são repetidos, portanto eles não alteram o resultado mexicano). A sequência mex resultante para x = 0..33 é:rseq[jmod34]+rseq[(34−2−x−j)mod34]j≥34
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,
Que é igual à sequência de repetição excepto para e ; mas os valores são mais baixos que o mex correspondente na sequência não repetida, portanto:x=16x=33
mex{Pn−2+P0,Pn−3+P1,...,P⌈n/2⌉+Pn−⌈n/2⌉} =mex{Pn−2+P0,Pn−3+P1,...,Pn−2−33+P33}
e para ,(k≥4,0≤x<34)Win(Pk∗34+x)=Win(P34+x)=Win(Px)