Estratégia vencedora de um jogo de exclusão de "borda ou vértice isolado"


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Este jogo de informações perfeitas, jogado em gráficos, é conhecido / estudado?

Dado um gráfico G=(V,E) , dois jogadores alternam escolhendo uma aresta ou um nó isolado. Se o jogador escolher uma aresta e=(u,v) os dois nós u e v serão excluídos juntamente com as arestas incidentes. Se o jogador escolher um nó isolado, o nó será excluído. O primeiro jogador incapaz de se mover perde o jogo.

Qual é a complexidade de encontrar o vencedor?

Alguma referência a jogos similares?


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Presumo que o nó isolado seja removido se escolhido? Nesse caso, o jogador 0 vence também em todos os caminhos não vazios, gastando o primeiro movimento, subdividindo o problema em dois componentes iguais e espelhando os oponentes, movendo-se no componente oposto a partir de então para manter o isomorfismo. Isso implica que o jogador 1 vence em um ciclo, pois o primeiro movimento reduz o problema a um caminho.
precisa

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@YonatanN: sim, um nó isolado pode ser selecionado (e removido); mas a estratégia de simetria funciona em caminhos de comprimento par (o jogador 0 escolhe os 2 nós centrais como primeiro movimento, depois espelha os movimentos do jogador 1), mas não nos caminhos de comprimento ímpar: tente aplicar a estratégia a um caminho de comprimento 11 e não funciona (na verdade, para um caminho de comprimento 11, o vencedor é o jogador 1).
Marzio De Biasi

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@Marzio De Biasi: Sinto muito, mas quando jogo bons jogos, normalmente jogo à mão. A menos que eu tenha cometido erros, o jogador 0 tem uma estratégia vencedora: Observe que: a) para P1, P2, P5 e P8, o jogador 0 sempre vence. b) para P3 e P7, o jogador 1 sempre vence. c) para P4 e P6, o jogador 0 pode decidir ganhar ou perder. Agora, no caso de P11: - Numere os nós de P11 com v1, v2, ... v11. - O jogador 0 pega a borda v9, v10 e o restante é o nó isolado v11 e P8. Se o jogador 1 receber a v11, o jogador 0 vencerá porque ele tem um caminho par. Caso contrário, o jogador 0 vencerá por a), b) e c).
precisa saber é o seguinte

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De acordo com meu programa , os valores de n≤100, de modo que o primeiro jogador perde no jogo no caminho com n vértices, são 3, 7, 23, 27, 37, 41, 57, 61, 71, 75, 91 e 95. Infelizmente, não vejo outro padrão além de estranho (o que já era conhecido) e o OEIS não mostra nenhuma correspondência.
Tsuyoshi Ito 27/01

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@TsuyoshiIto: ... faça a diferença aos pares: (3 7) (23 27) (37 41) (57 61) (71 75) (91 95) e você obtém 4 4 4 4 4 4 ... parece um padrão :-) .... (3 ... 23) ... (37 ... 57) ... (71 ... 91) e você ganha 20 20 20 ... outro! :-D
Marzio De Biasi

Respostas:


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Publico uma atualização como resposta automática apenas para mantê-la distinta da pergunta ( que ainda está aberta ).

Como mostrado nos comentários (graças a Tsuyoshi Ito), o problema é solucionável em tempo polinomial para caminhos:

Win(Pn)=1(nmod34){3,7,23,27}

A partir de 0, a sequência (calculada) dos valores nim é periódica:

0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated

Não trabalhei em uma prova matemática rigorosa, mas a ideia é:

suponha que desejamos calcular o elemento , o primeiro movimento (escolha uma aresta) pode dividir o caminho em maneiras diferentes (n-2,0), (n-3, 1), (n-4,2), ...). O novo valor nim é igual a:Win(Pn),n=k34+x(k4,0x<34)n/2

mex{Pn2+P0,Pn3+P1,...,Pn/2+Pnn/2}

Os primeiros 34 elementos do conjunto são produzidos pela primeira sequência não repetida (0,1,1,0, ...) (nim) somada aos elementos da sequência repetida na ordem inversa, a partir do elemento .(342x)mod34

Por exemplo: para :x=0

     0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
     3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4

Para x = 0..33, a sequência mex resultante é igual à sequência de repetição:

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6

Os elementos restantes do conjunto são calculados apenas na (s) sequência (s) de : (para os pares são repetidos, portanto eles não alteram o resultado mexicano). A sequência mex resultante para x = 0..33 é:rseq[jmod34]+rseq[(342xj)mod34]j34

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,

Que é igual à sequência de repetição excepto para e ; mas os valores são mais baixos que o mex correspondente na sequência não repetida, portanto:x=16x=33

mex{Pn2+P0,Pn3+P1,...,Pn/2+Pnn/2} =mex{Pn2+P0,Pn3+P1,...,Pn233+P33}

e para ,(k4,0x<34)Win(Pk34+x)=Win(P34+x)=Win(Px)


De acordo com meu cálculo, o primeiro jogador tem uma estratégia vencedora para , dando um contra-exemplo à sua reivindicação. iff . P23Win(Pn)=1(nmod34){3,7,23,27}
User13136

@ user13136: você verificou os valores nim? Para o valor nim é 0 (obtive os mesmos valores de Tsuyoshi com um programa diferente, mas talvez estejamos ambos errados). P23
Marzio De Biasi

Eu acho que uma possível falha em seus programas poderia ser a ignorância do , caso em que o primeiro jogador sempre perde. Se você quiser, podemos jogar o caso agora. P 23P0P23
User13136

Desculpe, eu tenho que sair agora.
User13136

(n17,n18)(n5,n6)(n11,n12)(n1,n2) (você pode excluir os comentários anteriores que contêm os movimentos)
Marzio De Biasi
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