NP - Completude do problema de decisão para os 15 quebra-cabeças generalizados

Estou interessado na generalização natural do famoso quebra-cabeça 15 , onde você tem que deslizar os blocos até classificar todos os números (geralmente existe uma diferença de 1 bloco).

Agora, a generalização seria estender o tamanho do quebra-cabeça de 15 para , onde um campo está livre. Eu criei uma pequena ilustração (as setas tracejadas mostram movimentos permitidos e a configuração inferior mostra o quebra-cabeça resolvido): $p \times q$

insira a descrição da imagem aqui

Dada a configuração inicial de um quebra-cabeça, eu me faço a seguinte pergunta:

Questão de decisão : Dado um quebra-cabeça de tamanho e um número . Existe uma sequência de movimentos ou menos permitidos que transformam o quebra-cabeça na configuração resolvida? $p \times q$ $k \in \mathbb{N}$ $k$

Eu já fiz alguma investigação e encontrei o artigo " O enigma e os problemas de realocação relacionados $(n^2−1)$ " de 1990, que mostram que decidir minha pergunta para é NP-Completo e, portanto, decidir minha pergunta é NP -Completo (como o algoritmo geral também pode decidir a questão dos campos simétricos). $p=q$

A questão que permanece em aberto é se o problema de decisão também é NP-Complete para fixo . Estou particularmente interessado nos casos especiais . Ele também permanece aberto se permitir mais espaços livres do que um campo tornar o problema de decisão mais difícil ou mais fácil. $q>1$ $q=2,3$

Infelizmente, todos os artigos que pude encontrar omitem o caso assimétrico, portanto acho que talvez não haja resultados conhecidos sobre isso. Como a prova no artigo é bastante complicada e não se traduz em altura fixa, espero que alguém possa apresentar uma redução / artigo diferente que responda a algumas perguntas.

Outros artigos relacionados (a serem estendidos):

cc.complexity-theory np np-complete

— Listagem
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@ Listagem: não, você não pode fazer isso sozinho, os moderadores podem movê-lo (talvez eles notem esses comentários e, se concordarem, eles o moverão).

— Marzio De Biasi

Escrevi uma implementação não publicada do algoritmo de Parberry (saml.pdf), adaptado ao caso assimétrico. Funciona :-) Além disso, tenho citado o trabalho de pesquisa de Erik Demaine em minhas publicações relacionadas ao tópico. Obtenha em erikdemaine.org/papers/AlgGameTheory_GONC3 ; é um pouco mais novo que o jornal de 2008, FWIW.

O (n^{3})

$O(n^3)$

— Jonas Kölker 23/02

@Vor Eu ofereço $ 50 prêmio em dinheiro para prova de NP-completo :)

— Mohammad Al-Turkistany

Relacionados ?: cstheory.stackexchange.com/questions/783/...

— Joshua Grochow

@ vzn Desculpe se eu não era específico o suficiente aqui - só quero pedir q fixo, que é uma forma especial do caso assimétrico.

— Listagem

Acho que encontrei uma resposta parcial (embora bastante decepcionante) para o meu problema:

Eu tropecei neste artigo (2007):

" A complexidade do roteamento tridimensional de canais ", de Satoshi Tayu e Shuichi Ueno

Eles mostram (Teorema 4) que o com "2-redes" e dimensão de "encaminhamento problema 3d-canal" pode ser resolvido, se e apenas se o (artigo de verificação para mais detalhes) correspondente enigma lata ser resolvido. $p,q$ $p \times q-1$

$k$ $k \geq 2$

$p \times q-1$ $k \geq 2$ $k$

$p \times q-1$ $k$ $2$

— Listagem
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