Status nos limites inferiores do circuito para circuitos de profundidade com limite de polilog

A complexidade do circuito de profundidade limitada é uma das principais áreas de pesquisa na teoria da complexidade do circuito. Este tópico tem origens em resultados como "a função de paridade não está em " e "a função mod não é calculada por ", onde é a classe de idiomas decidíveis por profundidade não uniforme, constante, tamanho polinomial, fan-in ilimitado AND, OR, NOT e módulos gates, em que . No entanto, obter resultados concretos de limites mais baixos em circuitos polilogarítmicos de profundidade parece estar fora de alcance, usando métodos clássicos como restringir entradas e aproximar polinômios em campos finitos. p A C 0 [ q ] A C 0 [ q ] q gcd ( p , q ) = $AC^{0}$$p$$AC^{0}[q]$$AC^0[q]$$q$$\gcd(p,q)=1$

Conheço um artigo do STOC'96 que leva à teoria da complexidade geométrica e que mostra que a computação paralela eficiente usando operações sem operações bit a bit não pode calcular o problema de fluxo de custo mínimo.

Isso significa que, em certas configurações limitadas, podemos provar limites mais baixos de $NC$ para algum problema de preenchimento $P$

Primeiro, existem outros métodos ou técnicas que podem ser abordagens plausíveis para provar limites inferiores do circuito de profundidade polilogarítmico?

Segundo, qual a utilidade da seguinte declaração para a comunidade teórica?

O tamanho de um circuito $NC$ que calcula uma função booleana $f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ é pelo menos $l$ , onde $l$ é uma quantidade matemática dependendo da dureza do função alvo $f$ . O valor de $l$ pode ser, por exemplo, uma quantidade combinatória como discrepância, uma quantidade algébrica linear como a classificação de certo tipo de matriz em um campo, ou alguma quantidade inteiramente nova que não foi usada anteriormente na teoria da complexidade.

Nas técnicas de comprovação dos limites inferiores da profundidade do circuito do poliolog, todas as abordagens atuais funcionam em configurações restritas . Como no trabalho que você mencionou sobre o GCT , o limite inferior se aplica a um modelo PRAM restrito sem operações de bits.

Sob outra restrição, que é a restrição monótona para funções booleanas monótonas, existe uma abordagem analítica de Fourier (ou combinatória enumerativa) para provar limites inferiores de profundidade de circuito monótonos, no meu trabalho conjunto com Aaron Potechin ( ECCC e STOC ). Isso melhora em um resultado anterior de Ran Raz e Pierre McKenzie, que estende a estrutura de jogos de comunicação de Mauricio Karchmer e Avi Wigderson em relação à profundidade do circuito.

Outra linha de pesquisa para estender o jogo Karchmer – Wigderson foi proposta como um jogo de comunicação referido por Scott Aaronson e Avi Wigderson, cuja extensão a um protocolo de provador de competições é sugerida como uma abordagem para separar NC de P por Gillat Kol e Ran Raz ( ECCC e ITCS ).

Além de estudar a restrição sintática da monotonicidade, existe uma abordagem para estudar uma restrição semântica relacionada a jogos de seixos (chamados de programas de ramificação econômica) por Stephen Cook, Pierre McKenzie, Dustin Wehr, Mark Braverman e Rahul Santhanam. Existe um forte limite inferior sob a restrição econômica de Dustin Wehr, correspondendo ao limite superior mais conhecido para problemas com P completo. Esses resultados dizem respeito à complexidade determinística do espaço, que reduz os limites do tempo paralelo ou da profundidade do circuito pelos resultados conhecidos da simulação (por exemplo, desde ).$\text{AlternatingTime}[t] \subseteq \text{DeterministicSpace}[t]$

Sobre a questão relativa ao tamanho e profundidade dos circuitos, a seguinte abordagem pode estar relacionada. Richard Lipton e Ryan Williams mostram que, dado um limite inferior suficientemente forte na profundidade (ou seja, ), um limite inferior de tamanho fraco (ou seja, ) pode NC separado de P. Esse resultado segue um argumento de troca de profundidade de tamanho baseado em simulações de respeito a blocos. Um resultado anterior da profundidade de negociação de tamanho deve-se a Allender e Koucký, com base na ideia de auto-redutibilidade, mas estudou classes de complexidade menores, como NC e NL. n 1 + Ω ( 1 )$n^{1-O(1)}$$n^{1+\Omega(1)}$$^1$

Observe que, dentre as abordagens mencionadas acima, algumas consideram o tamanho e a profundidade dos circuitos, enquanto outras consideram apenas a profundidade do circuito. Em particular, a abordagem semi-algebro-geométrica de Mulmuley , a abordagem do protocolo de provadores concorrentes estudada por Kol – Raz e a abordagem de troca de profundidade por tamanho de Allender-Koucký e Lipton-Williams, todas dizem respeito ao tamanho e à profundidade de circuitos. Os resultados em Chan-Potechin , Raz-McKenzie , Cook-McKenzie-Wehr-Braverman-Santhanam e Wehr oferecem limites mais baixos de profundidade do circuito em configurações restritas, independentemente do tamanho. Além disso, o referido jogo de comunicação deAaronson-Wigderson diz respeito apenas à profundidade do circuito.

Ainda é consistente com o nosso conhecimento que algum problema de P-completo não pode ser calculado por circuitos de pequena profundidade (isto é, ), independentemente do tamanho. Se o tamanho não importa para pequenos circuitos de profundidade (de ventilação limitada), talvez faça sentido focar mais na profundidade do circuito do que focar no tamanho de pequenos circuitos de profundidade.$\log^{O(1)}n$

Seguindo a sugestão de Kaveh, estou colocando meu comentário como uma resposta (expandida).

Em relação ao$Q1$ , uma palavra de cautela está em ordem: até a profundidade logarítmica, se longe de ser entendida, sem falar em poli-logarítmica. Portanto, no mundo não monótono, o problema real é muito menos ambicioso:

Batendo Log-depth Problema: (!) Prove um super-linear limite inferior para -circuitos. $NC^1$

O problema permanece em aberto (por agora mais de 30 anos) mesmo para linear -circuitos. Estes são circuitos fanin- sobre a base e calculam transformações lineares sobre . A contagem fácil mostra que quase todas as matrizes exigem portas , em qualquer profundidade. 2 { ⊕ , 1 } f ( x ) = A x G F ( 2 ) A Ω ( n 2 / log n $NC^1$$2$$\{\oplus,1\}$$f(x)=Ax$$GF(2)$$A$$\Omega(n^2/\log n)$

Em relação$Q2$ : Sim, nós temos algumas medidas algébricas / combinatoric, limites inferiores em que batia circuitos log de profundidade. Infelizmente, até agora, não podemos provar limites suficientemente grandes para essas medidas. Digamos, por lineares -circuitos, uma tal medida é a rigidez da matriz . Este é o menor número de entradas de que é necessário alterar para reduzir a classificação para . É fácil mostrar que é válido para cada matriz booleana$NC^1$ $R_A(r)$$A$$A$$r$$R_A(r)\leq (n-r)^2$$n\times n$$A$e Valiant (1977) mostraram que esse limite é estreito para quase todas as matrizes. Para vencer os circuitos de registo de profundidade, que é suficiente para apresentar uma sequência de booleanos matrizes tal que$n\times n$$A$

$R_A(\epsilon n)\geq n^{1+\delta}$ para constantes . $\epsilon,\delta>0$

O melhor que sabemos até agora são matrizes com R A ( r ) ≥ ( n 2 / r ) log ( n / r ) . Para matrizes de Sylvester (ou seja, matrizes internas do produto), é fácil mostrar o limite inferior de Ω ( n 2 / r ) . $A$$R_A(r)\geq (n^2/r)\log(n/r)$$\Omega(n^2/r)$

Temos medidas combinatórias para geral (não-linear) -circuitos, bem como para um bipartido n x n gráfico G , deixe t ( G ) ser o número mais pequeno t de tal modo que L pode ser escrito como uma intersecção de t bipartido gráficos, cada um sendo uma união de no máximo t gráficos bipartidos completos. Para vencer os circuitos gerais de profundidade de log, seria suficiente encontrar uma sequência de gráficos com$NC^1$$n\times n$$G$$t(G)$$t$$G$$t$$t$

para uma constante ϵ > $t(G_n)\geq n^{\epsilon}$$\epsilon >0$

(veja, por exemplo, aqui como isso acontece). Mais uma vez, quase todos os gráficos têm . No entanto, o melhor permanece um limite inferior t ( G ) ≥ log 3 n para matrizes de Sylvester, devido a Lokam . $t(G)\geq n^{1/2}$$t(G)\geq \log^3 n$

Finalmente, deixe-me mencionar que temos até uma medida combinatória "simples" (quantidade), um limite inferior fraco (linear) no qual produziria limites inferiores exponenciais (!) Para circuitos não monótonos. Para uma bipartido gráfico G , deixe c ( G ) ser o menor número de fanin- 2 união ( ∪ ) e intersecção ( ∩ ) operações necessárias para a produção de L quando a partir de estrelas; uma estrela é um conjunto de arestas que une um vértice com todos os vértices do outro lado. Quase todos os gráficos têm c ( G ) = Ω ( n $n\times n$$G$$c(G)$$2$$\cup$$\cap$$G$ . Por outro lado, um limite inferior de$c(G)=\Omega(n^2/\log n)$

para uma constante ϵ > $c(G_n)\geq (4+\epsilon)n$$\epsilon>0$

implicaria um limite inferior na complexidade do circuito não monótono de uma função booleana explícita f G de N variáveis. Se G é n × m gráfico com m = o ( n ) , mesmo um limite inferior c ( G n ) ≥ ( 2 + ϵ ) n é suficiente (novamente, veja, por exemplo, aqui como isso acontece). Limites inferiores c ( $\Omega(2^{N/2})$$f_G$$N$$G$$n\times m$$m=o(n)$$c(G_n)\geq (2+\epsilon)n$ pode ser mostrado para gráficos relativamente simples. O problema, no entanto, é fazer isso com " - ϵ " substituído por " + ϵ ". Medidas mais combinatórias A complexidade do circuito de limite inferior (incluindo os circuitos A C C ) pode ser encontrada no livro. $c(G)\geq (2-\epsilon)n$$-\epsilon$$+\epsilon$$ACC$

PS Então, estamos por um fator constante de ao mostrar P ≠ N P ? Claro que não. Mencionei esta última medida c ( G ) apenas para mostrar que se deve tratar a "amplificação" (ou "ampliação") dos limites inferiores com uma porção saudável de ceticismo: mesmo que os limites que precisamos parecer "inocentemente" sejam muito menores ( linear) do que quase todos os gráficos exigem (quadrático), a dificuldade inerente de provar um limite inferior (fraco) pode ser ainda maior. Obviamente, tendo encontrado uma medida combinatória, podemos dizer algo sobre quais propriedades das funções as tornam difíceis de serem computacionais. Isso pode ser útil para provar uma indireta$2+\epsilon$$P\neq NP$$c(G)$limite inferior: alguma classe de complexidade contém uma função que requer grandes circuitos ou fórmulas. Mas o objetivo final é criar uma função explícita , cuja definição não tem um "cheiro algorítmico", não possui aspectos de complexidade ocultos.