Tempo de execução do algoritmo de Grover

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Qual é a complexidade do tempo (não a complexidade da consulta) do algoritmo de Grover? Parece-me claro que é pois existem iterações e cada iteração requer o uso da operação de reflexão que, por sua vez, leva tempo usando qualquer conjunto padrão de portas universais. $\Omega(\log(N) \sqrt{N})$ $\Omega(\sqrt{N})$ $\Omega(\log(N))$

O problema é que não consigo encontrar nem uma única referência que diga que a complexidade de tempo do algoritmo de Grover é . A Wikipedia e várias outras páginas da Web dizem a complexidade do tempo . O artigo de Grover reivindica "etapas". $\Omega(\log(N) \sqrt{N})$ $O(\sqrt{N})$ $O(\sqrt{N})$

Estou esquecendo de algo? Talvez as pessoas definam a operação de reflexão para levar o tempo da unidade. Mas isso não faz sentido para mim, porque se pudermos jogar o jogo de permitir que os unitários arbitrários levem tempo unitário, não haveria diferença entre a complexidade da consulta e a complexidade do tempo.

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— Dan Stahlke
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Não consigo pensar em uma referência que fale sobre a complexidade temporal do algoritmo de Grover, mas o que você escreveu é verdade. De fato, em qualquer conjunto de portas finitas, as operações executadas entre as consultas no algoritmo de Grover requerem pelo menos portas , pois cada porta tem largura finita, mas precisamos executar uma porta que afete todos os qubits

Ω (\log N)

$\Omega(\log N)$

\log N

$\log N$

— Robin Kothari 29/03

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Geralmente, a questão é discutida pelo seguinte motivo. O algoritmo de Grover é um algoritmo de busca combinatória para encontrar uma solução para um predicado arbitrário. Enquanto, sim, é a complexidade da porta quântica em cada estágio do algoritmo de caixa preta, o predicado também precisa ser calculado. A complexidade do portão quântico é , porque, caso contrário, não leria toda a entrada e você poderia descartar alguns bits de entrada da pesquisa. Por outro lado, um predicado interessante pode levar muito mais tempo que isso. Portanto, o número de chamadas para o predicado é considerado a moeda padrão, assim como para o análogo clássico do algoritmo de Grover, ou seja, a adivinhação aleatória. $\Theta(\log N)$ $\Omega(\log N)$

— Greg Kuperberg
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Acontece que existe uma maneira de implementar o algoritmo de Grover com menos de portas! É por isso que você não conseguiu encontrar uma referência alegando que as portas são necessárias. Pelo menos no caso em que há um item marcado, é possível fazer melhor. $O(\sqrt{N}\log N)$ $\Omega(\sqrt{N}\log N)$

Uma pré-impressão recente de Arunachalam e de Wolf fornece um novo algoritmo para resolver o problema de pesquisa com um item marcado com complexidade de consulta e apenas portões (do portão, defina Toffoli + todos os portões de um qubit). $O(\sqrt{N})$ $O(\sqrt{N}\log(\log^* N))$

Observe que a função cresce tão lentamente que, mesmo que seja o número de átomos no universo, é no máximo 3. $\log(\log^* N)$ $N$ $\log(\log^* N)$

— Robin Kothari
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