Rigidez matricial e usos de matrizes com baixa rigidez

Aproximadamente uma matriz da classificação é considerada rígida, se reduzir sua classificação para $n$ , é necessário alterar pelo menosde suas entradas, para alguns. $\frac{n}{2}$ $n^{1+\epsilon}$ $\epsilon > 0$

Se um matriz é rígida, então o mais pequeno programa linear computação ( é um vector de dimensão ) é o tamanho quer super-linear, ou tem a profundidade de super logarítmica. $n \times n$ $A$ $Ax$ $x$ $n$

Existe uma conversa com a afirmação acima?

Em outras palavras, há usos para matrizes de baixa rigidez não triviais e não óbvias de classificação completa no TCS?

Existe uma noção de rigidez para matrizes com classificações inferiores (digamos para alguma constante)? $\frac{n}{c}$ $c$

cc.complexity-theory

— T ....
fonte

A x

$A x$

n \times n

$n \times n$

A

$A$

A = B + C

$A=B+C$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

C

$C$

A

$A$

talvez primeiro é bom para pedir exemplos de matrizes com não-obviamente baixa rigidez

— Sasho Nikolov

@vzn outra maneira de afirmar o inverso é "as matrizes de baixa rigidez têm pequenos circuitos lineares". sua resposta é exatamente na direção oposta (não uma palavra sobre aplicações do tipo menos rígida -> mais eficiente), então -1

— Sasho Nikolov

@MCH Bom ponto. O que poderia ser melhor do que trivial? Você está fazendo uma observação interessante. Vou mudar um pouco a questão.

— T ....

-3

sem maiores esclarecimentos sobre a questão, segue uma tentativa / esboço de uma resposta. a rigidez da matriz tem conexões profundas com questões fundamentais na teoria do TCS / complexidade, incluindo limites inferiores do circuito, [1] e, portanto, separações de classes de complexidade, e teoria da codificação [2], além de outras áreas. [5] é uma boa pesquisa de slides.

os termos "baixo" e "alto" em referência à rigidez das matrizes são usados informalmente e não em um sentido técnico definido com precisão. [embora Friedman tenha definido rigidez "forte". [6]] sabe-se que as matrizes aleatórias têm alta rigidez, mas basicamente é um problema aberto de 3,5 décadas nesta área, para construir explicitamente qualquer matriz com rigidez "significativamente alta".

a questão não define / esclarece ainda mais os termos subjetivos "não trivial" ou "não óbvio" e terá alguma liberdade por lá.

nesta área, há uma linha de pesquisa que analisa a rigidez das matrizes Hadamard que possuem diversos usos / aplicações na teoria de codificação e em outros lugares.

parece justo dizer que um resultado de rigidez comprovadamente alto ultrapassaria o limiar de levar pelo menos a "novos corolários não triviais na teoria da complexidade", mas os limites mais conhecidos nas matrizes de Hadamard não são suficientes. [3] mas isso não prova conclusivamente que eles têm uma rigidez "baixa" limitada. é basicamente a mesma história com as matrizes de Vandermonde [também aplicações na teoria de codificação] consideradas por Lokam. [4]

Portanto, para resumir tudo o que se pode dizer é que "limites de rigidez mais baixos e fracos" foram comprovados em algumas matrizes, incluindo as matrizes Hadamard / Vandermonde.

também não parece haver experimentos numéricos, estimativas ou algoritmos publicados na área.

[1] Complexidade da função booleana por Stasys Jukna, 2011, seção 12.8 "matrizes rígidas requerem grandes circuitos"

[2] Sobre rigidez da matriz e códigos auto-corrigíveis localmente Zeev Dvir

[3] Limites inferiores aprimorados na ridicidade das matrizes Hadamard Kashin / Razborov

[4] Sobre a rigidez das matrizes de Vandermonde Lokam

[5] Discussão sobre rigidez da matriz de Mahdi Cheraghchi

J. Friedman. Uma observação sobre a rigidez da matriz. Combinatorica, 13 (2); 235-239, 1993

— vzn
fonte