Rigidez matricial e usos de matrizes com baixa rigidez


11

Aproximadamente uma matriz da classificação é considerada rígida, se reduzir sua classificação para nn , é necessário alterar pelo menosn1+ϵde suas entradas, para algunsϵ>0.n2n1+ϵϵ>0

Se um matriz A é rígida, então o mais pequeno programa linear computação Um x ( x é um vector de dimensão N ) é o tamanho quer super-linear, ou tem a profundidade de super logarítmica.n×nAAxxn

Existe uma conversa com a afirmação acima?

Em outras palavras, há usos para matrizes de baixa rigidez não triviais e não óbvias de classificação completa no TCS?

Existe uma noção de rigidez para matrizes com classificações inferiores (digamos para alguma constantec)?ncc


Axn×n

7
AA=B+CBCBCA

talvez primeiro é bom para pedir exemplos de matrizes com não-obviamente baixa rigidez
Sasho Nikolov

@vzn outra maneira de afirmar o inverso é "as matrizes de baixa rigidez têm pequenos circuitos lineares". sua resposta é exatamente na direção oposta (não uma palavra sobre aplicações do tipo menos rígida -> mais eficiente), então -1
Sasho Nikolov

@MCH Bom ponto. O que poderia ser melhor do que trivial? Você está fazendo uma observação interessante. Vou mudar um pouco a questão.
T ....

Respostas:


-3

sem maiores esclarecimentos sobre a questão, segue uma tentativa / esboço de uma resposta. a rigidez da matriz tem conexões profundas com questões fundamentais na teoria do TCS / complexidade, incluindo limites inferiores do circuito, [1] e, portanto, separações de classes de complexidade, e teoria da codificação [2], além de outras áreas. [5] é uma boa pesquisa de slides.

os termos "baixo" e "alto" em referência à rigidez das matrizes são usados ​​informalmente e não em um sentido técnico definido com precisão. [embora Friedman tenha definido rigidez "forte". [6]] sabe-se que as matrizes aleatórias têm alta rigidez, mas basicamente é um problema aberto de 3,5 décadas nesta área, para construir explicitamente qualquer matriz com rigidez "significativamente alta".

a questão não define / esclarece ainda mais os termos subjetivos "não trivial" ou "não óbvio" e terá alguma liberdade por lá.

nesta área, há uma linha de pesquisa que analisa a rigidez das matrizes Hadamard que possuem diversos usos / aplicações na teoria de codificação e em outros lugares.

parece justo dizer que um resultado de rigidez comprovadamente alto ultrapassaria o limiar de levar pelo menos a "novos corolários não triviais na teoria da complexidade", mas os limites mais conhecidos nas matrizes de Hadamard não são suficientes. [3] mas isso não prova conclusivamente que eles têm uma rigidez "baixa" limitada. é basicamente a mesma história com as matrizes de Vandermonde [também aplicações na teoria de codificação] consideradas por Lokam. [4]

Portanto, para resumir tudo o que se pode dizer é que "limites de rigidez mais baixos e fracos" foram comprovados em algumas matrizes, incluindo as matrizes Hadamard / Vandermonde.

também não parece haver experimentos numéricos, estimativas ou algoritmos publicados na área.

[1] Complexidade da função booleana por Stasys Jukna, 2011, seção 12.8 "matrizes rígidas requerem grandes circuitos"

[2] Sobre rigidez da matriz e códigos auto-corrigíveis localmente Zeev Dvir

[3] Limites inferiores aprimorados na ridicidade das matrizes Hadamard Kashin / Razborov

[4] Sobre a rigidez das matrizes de Vandermonde Lokam

[5] Discussão sobre rigidez da matriz de Mahdi Cheraghchi

J. Friedman. Uma observação sobre a rigidez da matriz. Combinatorica, 13 (2); 235-239, 1993

Ao utilizar nosso site, você reconhece que leu e compreendeu nossa Política de Cookies e nossa Política de Privacidade.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.