Fórmula restrita de monótonos 3CNF: contando tarefas satisfatórias (módulo

Considere uma fórmula Monotone 3CNF com as duas restrições adicionais a seguir:

• Cada variável aparece em exatamente cláusulas.$2$
• Dadas cláusulas, elas compartilham no máximo variável.$2$$1$

Eu gostaria de saber o quão difícil é contar as tarefas satisfatórias dessa fórmula.

Atualização 06/04/2013 12:55

Eu também gostaria de saber o quão difícil é determinar a paridade do número de tarefas satisfatórias.

Atualização 11/04/2013 22:40

E se, além das restrições descritas acima, também introduzirmos as duas restrições a seguir:

• A fórmula é plana.
• A fórmula é bipartida.

Atualização 16/04/2013 23:00

Cada tarefa satisfatória corresponde a uma cobertura de borda de um gráfico de . Após uma extensa pesquisa, o único artigo relevante que pude encontrar sobre as capas das bordas é o (3) já mencionado na resposta de Yuval. No início desse artigo, os autores dizem "Nós iniciar o estudo de amostragem (e a questão conexa de contar) de todas as tampas beira de um gráfico" . Estou muito surpreso que esse problema tenha recebido tão pouca atenção (em comparação com a contagem de capas de vértices, que é amplamente estudada e muito melhor compreendida, para várias classes de gráficos). Não sabemos se a contagem de capas de arestas é difícil. Não sabemos se a determinação da paridade do número de capas de borda é$3$$\#P$$\oplus P$-hard também.

Atualização 09/06/2013 07:38

A determinação da paridade do número de capas de arestas é -hard, verifique a resposta abaixo.$\oplus P$

Em qualquer gráfico, a paridade do número de capas de vértices é igual à paridade do número de capas de arestas.

$|C|$$\Delta_{|V|} = O_{|V|} - E_{|V|}$$O_{|V|} + E_{|V|}$

$\oplus$$\oplus$

Pelo menos a segunda metade da questão foi resolvida.

Seu problema provavelmente é # P-completo, embora eu não tenha sido capaz de encontrá-lo na literatura.

Outra maneira de indicar seu problema é "# 3-regular-edge-cover". Dada uma fórmula, construa um gráfico no qual cada cláusula corresponda a um vértice e cada variável corresponda a uma aresta. Como a fórmula é 3CNF, o gráfico é 3-regular (ou possui o grau máximo 3, dependendo da definição). Além disso, o gráfico é simples. Uma tarefa satisfatória é igual a uma cobertura de borda.

Aqui estão alguns problemas relacionados:

• # 1-Ex3MonoSat é # P-complete . É o mesmo que seu problema, apenas uma solução satisfatória precisa satisfazer exatamente uma variável em cada cláusula.
• Contar o número de coberturas de vértices em gráficos planares tridimensionais é # P-complete .
• Existe um FPRAS para a cobertura nº 3 da borda regular . Isso sugere que os autores acreditam que o problema é difícil.