Atingir conjuntos com uma subfamília

Seja uma família de subconjuntos de elementos- de um universo finito de objetos. Uma família de subconjuntos de elementos de , com , é um conjunto de batidas de - se para cada existir pelo menos um conjunto tal que .$F$$d$$U$$H$$k$$U$$1 \le k < d$$(k,d)$$F$$V \in F$$W \in H$$W \subset V$

Dada uma colecção como descrito acima, a - bater-conjunto problema é encontrar um menor -hitting-conjunto de por .$F$$(k,d)$$(k,d)$$H$$F$

Quando , temos o problema do conjunto de resultados padrão e há muitos resultados anteriores. Conheço análises parametrizadas para o caso com e (ver Brankovic e Fernau , por exemplo).$k = 1$$k = 1$$d \le 3$

Alguém conhece algum resultado sobre a complexidade ou a dureza da aproximação do problema do conjunto de batidas com:$(k,d)$

1. $k = 1$ e ?$d = 4$
2. $d = 4$ e ?$1 < k < d$
3. $1 \le k < d$ e arbitrária?$d$

Para uma constante o problema do conjunto de batidas não é mais difícil do que o conjunto de batidas original (ou seja, ) em vista da complexidade aproximada e parametrizada. Há uma redução simples de -HS para -HS. Para uma instância do primeiro problema, obtemos uma instância de do segundo em que cada elemento corresponde a um subconjunto do elemento de e cada conjunto em corresponde a um conjunto em da mesma maneira (isto é, mapeando todos$d$$(k,d)$$d$$k=1$$kd$$d$$(U,\mathcal{F},d,k)$$(U',\mathcal{F'},d)$$e \in U'$$k$$U$$\mathcal{F'}$$\mathcal{F}$$k$subconjuntos de elementos de para elementos em ). Como é uma constante, o tamanho da nova instância é uma função polinomial do tamanho da primeira instância ( ). Um conjunto de acertos para o primeiro problema corresponde a um conjunto de acertos da mesma cardinalidade para o segundo problema e vice-versa; portanto, a redução preserva a aproximação.$U$$U'$$k$$O(n^k)$