Implicações da aproximação do determinante

Sabe-se que se pode calcular exatamente o determinante de um matriz em determinstic espaço. Quais seriam as implicações de complexidade de aproximar o determinante de uma matriz real, da norma, no máximo, ( ) em randomizado logarítmica espaço,-se dizer, um precisão? $n\times n$ $\log^2(n)$ $1$ $\left\|A\right\|\leq 1$ $1/\text{poly}$

A esse respeito, qual seria a aproximação "correta" a ser solicitada - multiplicativa ou aditiva? (veja uma das respostas abaixo).

determinant cc.complexity-theory

— Lior Eldar
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Eles deveriam estar em uma RAM real?

$\:$

Não sei se entendi corretamente a pergunta, mas se você se referir à precisão da aritmética, presumo que cada número real seja armazenado em bits de log (n).

— Lior Eldar

Com o risco de não ter entendido os detalhes da pergunta adequadamente: ser capaz de aproximar o determinante de qualquer fator exige ser capaz de decidir se uma matriz quadrada é singular ou não, o que deve ter algumas consequências.

Por um lado, fornece um teste aleatório para determinar se um gráfico geral possui uma correspondência perfeita (via matriz de Tutte e Schwarz-Zippel). Eu não acho que o último seja conhecido no espaço de log aleatório (por exemplo, o Complexity Zoo lista a correspondência perfeita bipartida tão difícil para NL).

— Magnus Wahlström
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Obrigado Magnus, embora eu estivesse realmente pensando em um erro de aproximação aditivo; nesse caso, você não precisará distinguir se uma matriz é singular ou não. A aproximação multilipativa também pode ser interessante, então, no momento, não tenho certeza de qual é a melhor definição.

— Lior Eldar

@LiorEldar, certamente mesmo com erro de aproximação aditivo, se as entradas na matriz forem números inteiros e o erro do aditivo for inferior a 0,5, você tem um teste de singularidade infalível?

— Peter Taylor

Olá Peter Taylor, acho que para falar, digamos, 0,5 precisão, primeiro você precisa especificar a maior norma de operador que você suporta. Assim, por exemplo se a sua entrada

tem

, então o seu erro aditivo determinante pode ser

. Portanto, mesmo que sua entrada seja fornecida como números inteiros truncados, cada um de

bits, a norma máxima pela qual você precisa aproximar o determinante seria

em termos de números inteiros, o que significa

A

$A$

‖ A ‖ \leq 1

$\left\|A\right\|\leq 1$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

l o g (n)

$log(n)$

n^{n}

$n^n$

0.5

$0.5$ o erro de aproximação é muito menor que

relação a

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

‖ A ‖

$\left\|A\right\|$

— Lior Eldar

Eu acho que o problema com o erro aditivo em relação à norma é que ele não é realmente escalável. Digamos que eu tivesse um algoritmo que forneceu um erro de aproximação

relação a

. Agora seja

a matriz diagonal de

blocos formada usando

cópias de

como blocos. Então

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

| | A | |

$||A||$

A^{'}

$A'$

n^{3} \times n^{3}

$n^3 \times n^3$

n^{2}

$n^2$

A

$A$

| | A | | = | | A^{'} | |

$||A||=||A'||$ , mas

, então a

erro aditivo para

escala para um erro aditivo

para

det (A^{'}) = det (A)^{n^{2}}

$\det(A')=\det(A)^{n^2}$

| | A^{'} | | / p o l y (n)

$||A'||/poly(n)$

d e t (A^{'})

$det(A')$

O (1)

$O(1)$

d e t (A)

$det (A)$

— 22713 Kevin Costello