Pergunta simples sobre problemas de decisão

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(Estou no meio do meu primeiro curso teórico de cs, então peço desculpas antecipadamente pelo que provavelmente é uma pergunta estúpida.)

Então, dizemos que alguma linguagem L está em P, o que significa que uma máquina de Turing pode ser construída que gera 1 se x estiver em L e 0, caso contrário; Além disso, a máquina é executada em tempo polinomial. Eu entendo isso.

Mas muitas pessoas dizem que existem certos problemas em P que não me parecem problemas de decisão; por exemplo, maximizar uma função sujeita a restrições lineares. O que significa que "programação linear" está em P? Certamente "encontrar o valor máximo" não é um problema de decisão?

cc.complexity-theory

— Xodarap
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Você está certo: formalmente, P inclui apenas problemas de decisão. Porém, muitos problemas de decisão têm problemas de otimização correspondentes: encontre o tamanho da maior correspondência em um gráfico, encontre o comprimento do caminho mais curto de s a t em um gráfico, etc.

Geralmente, eles podem ser reduzidos a problemas de decisão, perguntando: "O gráfico possui uma correspondência usando mais de k arestas?" ou "Existe um caminho s-> t de comprimento menor que k?"

Obviamente, se você puder resolver o problema de otimização, poderá resolver o problema de decisão. O inverso também costuma ser verdadeiro, até fatores logarítmicos. Se você quiser saber o tamanho da maior correspondência em um gráfico, por exemplo, poderá fazer chamadas repetidas para seu algoritmo para o problema de decisão "O gráfico possui uma correspondência usando mais de k arestas?" e faça uma pesquisa binária no valor "k". Dessa forma, você precisará no máximo de chamadas de log (m), em que m é o número de arestas. Para a maioria dos problemas, há uma redução análoga.

— Aaron Roth
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Para acompanhar a resposta de Aaron, a programação linear pode ser formulada como um problema de decisão, especificando alguns limites, k, nos quais você está interessado; esse é um truque comum. Por exemplo, existe uma atribuição de valores para variáveis da função objetivo de forma que você satisfaça todas as restrições lineares E de modo que a função objetivo tenha um valor maior ou igual (resp., Menor que ou igual a) k? Você pode, por exemplo, decidir isso em tempo polinomial maximizando / minimizando a função objetivo.

— Daniel Apon

Então, essencialmente, se você sabe "existe uma solução para o X?" está em P, então geralmente (mas nem sempre) o problema " qual é a solução para o X?" será solucionável em tempo polinomial?

— Xodarap 28/09

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Xodarap: isso mesmo. Geralmente, a capacidade de resolver o problema de decisão rapidamente permite resolver o problema de pesquisa rapidamente, mas nem sempre. Como um famoso contra-exemplo: pelo teorema de Nash, todo jogo de matriz tem um equilíbrio misto de Nash, então resolver o problema de decisão "Esse jogo tem um equilíbrio de Nash" é trivial - a resposta é sim. Pensa-se, porém, que é difícil encontrar um equilíbrio de Nash em um jogo genérico.

— Aaron Roth

outro exemplo disso é o teorema de Radon. Dado qualquer ponto d + 2 em R ^ d, existe uma partição dos pontos em dois conjuntos, de modo que os dois cascos convexos se cruzam. Fácil de verificar uma partição candidata, mas difícil de encontrar uma.

— Suresh Venkat

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Formalmente, a classe de funções que pode ser calculada em tempo polinomial é chamada FP . As pessoas costumam dizer "P" em vez de "FP", já que a distinção é apenas sintática e nenhuma confusão real acontecerá.

— Noam
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Uma pergunta muito semelhante já foi feita no tópico " Classe de complexidade do FNP ". Lá, o questionador perguntou essencialmente a diferença entre as classes de complexidade NP e FNP. Você está perguntando a diferença entre as classes de complexidade P e FP. Em resumo, P e NP são classes de decisão, enquanto as versões "F" (FP e FNP) são classes de função. Para mais informações, consulte o tópico citado acima.

— MS Dousti
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Problemas que exigem uma solução podem ser transformados em problemas de decisão, se houver alguma maneira de medir o quão boa é uma solução. A versão da decisão especifica que qualquer solução deve ser melhor que algum valor limite. Por exemplo, a versão de decisão do PROGRAMA LINEAR é obtida perguntando se o programa linear é viável.

— András Salamon
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Ah, na verdade eu não estou ciente disso - é decidir se existe alguma solução viável mais comum do que decidir se existe uma solução viável de um certo valor?

— Daniel Apon

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C X \geq B

$CX \ge B$

X

$X$

C

$C$

B

$B$

- C X \leq - B

$-CX \le -B$

C X \geq B

$CX \ge B$