Quando as estratégias de equilíbrio -Nash convergem para as estratégias de Equilíbrio de Nash?

Os Equilibria de Nash são incontestáveis em geral. Um equilíbrio -ash é um conjunto de estratégias em que, dadas as estratégias dos oponentes, cada jogador obtém do máximo retorno possível possível. Encontrar um equilíbrio -Nash, dado e um jogo, é completo. $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\mathsf{PPAD}$

Seguindo estritamente as definições, parece não haver uma razão específica para acreditar que as estratégias de um dado equilíbrio -Nash estejam próximas das estratégias de qualquer equilíbrio de Nash. No entanto, muitas vezes vemos que a literatura usa de maneira um tanto desleixada uma frase como "calcular aproximadamente um equilíbrio de Nash" quando significa dizer "calcular um equilíbrio aproximado de Nash". $\epsilon$

Então, eu estou me perguntando quando o segundo implica o primeiro; isto é, para quais jogos podemos esperar que os equilíbrios Nash sejam "próximos" dos equilíbrios de Nash? $\epsilon$

Mais formalmente, suponha que eu tenha um jogo com jogadores e uma sequência de perfis de estratégia . $n$ $(s_1^{(1)},\dots,s_n^{(1)}), (s_1^{(2)},\dots,s_n^{(2)}), (s_1^{(3)},\dots,s_n^{(3)}), \dots$

Cada é um equilíbrio Flash, e a sequência converge para zero. $(s_1^{(i)},\dots,s_n^{(i)})$ $\epsilon_i$ $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,\dots$

Minhas perguntas:

Quando (sob quais condições / premissas) todas as estratégias convergem? Ou seja, para cada jogador , necessariamente converge. $j$ $s_j^{(1)},s_j^{(2)},s_j^{(3)},\dots$
Sob que condições adicionais o limite dessa sequência é realmente um equilíbrio de Nash do jogo? (Parece-me que nenhuma suposição adicional deve ser necessária; ou seja , se todas as estratégias convergirem, o limite deverá ser um NE.)
Quando um algoritmo para calcular os equilíbrios -ash implica necessariamente um algoritmo para aproximadamente as estratégias de computação de um equilíbrio de Nash? As condições acima são suficientes? $\epsilon$

Muito obrigado!

Editar 19-03-2014

Depois de ler a referência na resposta de Rahul, parece mais razoável pensar em termos de distâncias entre distribuições do que em seqüências convergentes. Então, tentarei reformular as perguntas e também colocar algumas idéias recentes. $\ell_1$

(Bem, isso depende muito do algoritmo para realmente ter uma resposta. Sem restrições, você poderia ter dois equilíbrios de Nash distintos e, em seguida, ao conectar cada vez menor no algoritmo, a distância entre sucessivas as saídas ainda podem ser grandes porque as saídas oscilam entre os equilíbrios.) $\epsilon$ $\ell_1$
Suponha que seja um perfil de estratégia, ou seja, distribuição do produto sobre as estratégias dos jogadores. Para que jogos podemos dizer que é um equilíbrio -Nash implica para algum equilíbrio de Nash , onde como ? (Observe que o inverso será retido se os retornos forem limitados por ) $p$ $p$ $\epsilon$ $\|p - q\|_1 \leq \delta$ $q$ $\delta \to 0$ $\epsilon \to 0$ $1$

Isso é realmente complicado porque, no cenário de complexidade, o que chamamos de "jogo" é na verdade uma sequência de jogos parametrizada por , o número de estratégias puras ("ações"). Então como , e as taxas relativas são importantes. Aqui está um contra-exemplo simples para mostrar que a resposta não é "todos os jogos". Suponha que consertemos uma sequência decrescente de . Em seguida, para cada , construa o jogo para dois jogadores em ações em que, se um jogador executar a primeira ação, eles receberão um pagamento de independentemente do que o outro jogador jogar; se um jogador joga a segunda ação, recebe um pagamento de $n$ $n \to \infty$ $\epsilon \to 0$ $\epsilon_1,\epsilon_2,\dots$ $\epsilon_n$ $n$ $1$ $1-\epsilon_n$ independentemente do que o outro jogador joga; e se um jogador executar qualquer outra ação, ele receberá um pagamento independentemente do que o outro jogador jogar. $0$

Assim, cada jogo tem um equilíbrio (ambos executam a segunda ação) que está no máximo distante de seu único equilíbrio de Nash (ambos a primeira ação). $n$ $\epsilon_n$ $\ell_1$

Então, duas questões interessantes:
1. Para um jogo fixo e um fixo , seja para "suficientemente pequeno", a condição acima é válida (todos os -equilibria estão próximos dos equilíbrios de Nash). $n$ $\epsilon$ $\epsilon$
2. Talvez a mesma pergunta seja essencialmente, mas se a condição é válida se as diferenças nos ganhos são limitadas por uma constante como . $n \to \infty$
Mesma pergunta que (2), mas relacionada ao equilíbrio real calculado por algoritmos. Acho que provavelmente obteremos respostas algorítmicas / construtivas ou nenhuma, então a distinção não importa muito.

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— usul
fonte

Sempre existe um ponto limite para o qual convergem uma sub-sequência dos equilíbrios épsilon e esse limite seria um equilíbrio exato de Nash. Isso está implícito na compacidade do espaço dos perfis de estratégia mista e na continuidade das funções de utilidade em função das probabilidades da estratégia mista.

(s_{1}^{*} . . . s_{n}^{*})

$(s_1^* ... s_n^*)$

— Noam

O artigo a seguir pelo menos formaliza a noção de equilíbrio aproximado próximo ao equilíbrio exato e prova alguns resultados estruturais relacionados.

Pranjal Awasthi, Maria-Florina Balcan, Avrim Blum, Or Sheffet e Santosh Vempala (2010). No equilíbrio de Nash de jogos com aproximação estável. Em Anais da Terceira conferência internacional sobre teoria dos jogos algorítmica (SAGT'10), 78-89.

Em particular, o artigo fornece um exemplo de uma classe de jogos para a pergunta 3.

— Rahul Savani
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Obrigado! Eu acho que esse é o estado da arte. Vou acrescentar alguns pensamentos na minha pergunta também.

— usul