Como definir uma função indutivamente em dois argumentos no Coq?

Como convencer a Coq de que a função recursiva fornecida abaixo termina? A função usa dois argumentos indutivos. Intuitivamente, a recursão termina porque um dos argumentos é decomposto.

Especificamente, a função aceita duas árvores como entrada.

Inductive Tree :=
| Tip: Tree
| Bin: Tree -> Tree -> Tree.

Em Trees, eu gosto de fazer o seguinte estilo de indução.

Inductive TreePair :=
| TipTip : TreePair
| TipBin : Tree -> Tree -> TreePair
| BinTip : Tree -> Tree -> TreePair
| BinBin : TreePair -> TreePair -> TreePair.

Fixpoint pair (l r: Tree): TreePair :=
  match l with
    | Tip =>
      match r with
        | Tip => TipTip
        | Bin rl rr => TipBin rl rr
      end
    | Bin ll lr =>
      match r with
        | Tip => BinTip ll lr
        | Bin rl rr => BinBin (pair l rl) (pair lr r)
      end
  end.

A definição de TreePair é aceita, mas a definição do par de funções gera a mensagem de erro:

Error: Cannot guess decreasing argument of fix.

Então, eu estou interessado em como convencer Coq da rescisão.

As definições de ponto de fixação da Coq exigem que chamadas indutivas recebam um argumento estruturalmente menor. No fundo, uma construção de ponto de fixação requer um único argumento: não há um conceito interno de definição recursiva sobre dois argumentos. Felizmente, a definição de Coq estruturalmente menor da Coq inclui tipos de ordem superior, o que é extremamente poderoso.

Sua definição de ponto de fixação de dois argumentos segue um padrão simples: o primeiro argumento se torna menor ou o primeiro argumento permanece idêntico e o segundo argumento se torna menor. Esse padrão bastante comum pode ser tratado por um simples reparo em reparo.

Fixpoint pair l := fix pair1 (r : Tree) :=
  match l with
    | Tip => match r with
              | Tip => TipTip
              | Bin rl rr => TipBin rl rr
            end
    | Bin ll lr => match r with
                    | Tip => BinTip ll lr
                    | Bin rl rr => BinBin (pair1 rl) (pair lr r)
                   end
  end.

Para casos mais complexos, ou se o seu gosto for desse jeito, você pode usar a recursão mais próxima do que é ensinado nos cursos de matemática, construindo o ponto de correção a partir de uma computação em etapas e um argumento separado de fundamentação , geralmente usando uma medida inteira . Você também pode fazer sua definição parecer mais um programa clássico em um idioma não total com uma terminação separada usando o Programvernáculo .