É

Na pesquisa "Circuitos Quânticos de Profundidade Pequena" de D. Bera, F. Green e S. Homer (p. 36 da ACM SIGACT News, junho de 2007 vol. 38, n. 2) , li a seguinte frase:

A versão clássica de (na qual as portas e têm fanout no máximo constante) é comprovadamente mais fraca que . $QAC^0$ $AND$ $OR$ $AC^0$

Uma referência para esta reivindicação está ausente. Vou chamar essa classe de , em que significa "fanout limitado". (O Zoológico da Complexidade está desativado e não posso verificar se essa classe já tem um nome na literatura). Se assumirmos fanout ilimitado para os bits de entrada, esses circuitos parecerão equivalentes a fórmulas de profundidade constante até um aumento polinomial no tamanho, de modo que a reivindicação acima não faz sentido. Em vez disso, se assumirmos fanout limitado também para os bits de entrada, não consigo pensar em nenhum idioma que separa essa classe de . Um possível candidato pode ser o idioma , ou seja , o idioma das strings com apenas um 1. É fácil mostrar $AC^0_{bf}$ $bf$ $AC^0$ $X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$ $X \in AC^{0}$ , mas não consegui provar que . $X \notin AC^{0}_{bf}$

As perguntas são:

É realmente mais fraca do que ? Se for, alguma ideia ou referência sobre como provar isso? E qual é a linguagem que separa essas duas classes? E o ? $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $X$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Alessandro Cosentino
fonte

A saída do ventilador dos bits de entrada tornará o circuito de tamanho linear. Qualquer função

A C^{0}

$AC^0$ que exija tamanho super-linear os separará.

— Kaveh

@ Kaveh: Talvez você possa repassar isso como resposta, talvez com um exemplo de função explícita que exija circuitos de tamanho super-linear

A C^{0}

$AC^0$ e talvez uma referência que mostre o limite inferior do tamanho? (Ou incluir o argumento na sua resposta, se é muito simples?)

— Robin Kothari

@Kaveh Obrigado. Eu não sabia que a separação entre e circuitos de profundidade constante de tamanho linear (aparentemente chamados ) era conhecida. A referência é "Restrições determinísticas na complexidade do circuito", de S. Chaudhuri e J. Radhakrishnan. @Kaveh Você pode responder ao seu comentário?

A C^{0}

$AC^0$

L C^{0}

$LC^0$

— Alessandro Cosentino

Conforme discutido na pergunta subsequente cstheory.stackexchange.com/questions/7447/… , é igual à fórmula de tamanho linear.

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— domotorp

Um limite na saída dos bits e portas de entrada tornará o tamanho do circuito linear. Seja um limite na abertura dos portões e entradas. É um DAG com grau máximo de saída limitado por caminho máximo de comprimento . O número de fios disponíveis em cada nível pode aumentar vezes, e o número de fios disponíveis no topo é ; portanto, o número total de fios no circuito é no máximo que é . $k$ $k$ $d$ $k$ $kn$ $kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$ $O(n)$

Qualquer função que exija tamanho super-linear separará a classe de funções com uma saída limitada (aplicada também aos bits de entrada) de . aqui estão alguns exemplos: $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

[CR96]: Uma função que precisa de tamanho super-linear é a $\mathsf{AC^0}$ - seletor aproximado $\frac{1}{4}$ . A - seletor aproximado é qualquer função cujo valor seja: $\frac{1}{4}$
- sempre que o número de s for no máximo $0$ $1$ , $\frac{n}{4}$
- sempre que o número de s for no máximo $1$ $0$ , $\frac{n}{4}$
- pode ser ou caso contrário. $0$ $1$
[Ros08] mostra que a classe tem complexidade de funções ( bits de entrada são possíveis arestas de um gráfico com vértices). Isso fornece um tamanho de linha super inferior para . $k$ $\mathsf{AC^0}$ $n^{\Theta(k)}$ $n^2$ $n$ $k\gt 2$
Provavelmente é possível generalizar o exemplo em 2 can para a existência de qualquer subestrutura induzida fixa não trivial (exigindo mais de um bit) em uma dada estrutura não ordenada, por exemplo:
- existência de um caminho de comprimento 2 em um dado gráfico,
- , $\#_1(x)=2$
uma vez que requerem um número super constante de portas, dependendo de um bit que não é possível em . $\mathsf{AC^0_{bf}}$
O exemplo mais fácil é um portão duplicador, ou seja, um portão que cria cópias do seu bit de entrada. Isso não é possível em pois apenas de portas pode depender de cada bit de entrada. $\omega(1)$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $O(1)$

Além disso, qualquer circuito de tamanho pode ser transformado em uma fórmula de tamanho no máximo e, portanto, possui uma fórmula de tamanho modo que qualquer função de superlinear a complexidade da fórmula não estará em . $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $S$ $k^dS$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $k^{2d+1}n$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$

Referências:

[CR96] S. Chaudhuri e J. Radhakrishnan, " Restrições determinísticas na complexidade do circuito ", 1996

[Ros08] Benjamin Rossman, " Sobre a complexidade em profundidade constante do k-Clique ", 2008

[Juk] Stasys Jukna, " Complexidade da função booleana: avanços e fronteiras ", rascunho

— Kaveh
fonte

Uma separação mais recente entre

segue deste resultado devido a Benjamin Rossman. Ele mostra que, para toda constante

(também alguma

crescente ) e constante

, qualquer circuito de profundidade

para a classe

em um gráfico de

vértices deve ter tamanho

. Isso implica que a hierarquia de idiomas aceita pelos circuitos

de tamanho

(para diferentes

L C^{0}

$LC^0$

A C^{0}

$AC^0$

k

$k$

k

$k$

d

$d$

d

$d$

k

$k$

n

$n$

Ω (n^{k / 4})

$\Omega(n^{k/4})$

A C^{0}

$AC^0$

n^{k}

$n^k$

k

$k$ ) é realmente infinito.

— Srikanth

Atualizei a resposta, graças a Alessandro, domotorp, Robin, Srikanth e Stasys.

— Kaveh

@ Kaveh: Tudo bem, obrigado. Se você encontrar uma maneira de ajustar o resultado de Rossman, ficarei interessado em ouvi-lo. Quanto à função de limite-2, eu acho que nós podemos mostrar que não é nesta classe, observando que todas as funções desta classe têm fórmulas lineares de tamanho, e limite-2 tem um tamanho de fórmula limite inferior de

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

— Robin Kothari

@ Kaveh: Se por

, você quer dizer o caminho do comprimento

, lembre-se de que existem circuitos

de tamanho

para essas funções (isso segue essencialmente a técnica de código de cores de Alon, Yuster e Zwick). Não tenho certeza de que a técnica de Rossman dê esse tipo de limite (embora eu não saiba de nenhuma razão para isso não acontecer).

P_{k}

$P_k$

k

$k$

A C^{0}

$AC^0$

2^{k} n^{O (1)}

$2^kn^{O(1)}$

— Srikanth

@ Kaveh: me desculpe, eu deveria ter fornecido uma referência. O documento que você indicou iniciou o método de codificação por cores para encontrar caminhos e outros subgráficos rapidamente. Amano, neste artigo, foi o primeiro a apontar que os algoritmos poderiam ser implementados em

A C^{0}

$AC^0$

— Srikanth