Problema de decisão fácil, problema de pesquisa difícil

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Decidir se existe um equilíbrio de Nash é fácil (sempre existe); no entanto, achar que é difícil encontrar um (é completo com o PPAD).

Quais são alguns outros exemplos de problemas em que a versão de decisão é fácil, mas a versão de pesquisa é relativamente difícil (comparada à versão de decisão)?

Eu estaria particularmente interessado em problemas em que a versão da decisão não é trival (ao contrário do caso com o equilíbrio de Nash).

cc.complexity-theory big-list

— Serviço Travis
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Provavelmente deveria ser o wiki da comunidade: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/225/…

— Dave Clarke

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@ supercooldave: Eu não me apressaria com a CW neste caso. Pode acontecer que existam muito poucos problemas naturais com uma versão de decisão não trivial, mas fácil e uma versão de pesquisa rígida. Esta não é necessariamente uma "grande lista".

— Jukka Suomela 01/10/10

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Eu fui com a heurística que grande lista = wiki da comunidade.

— Dave Clarke

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Portanto, isso levanta a questão "qual é o problema de decisão natural a ser associado a um problema de pesquisa?". Eu acho que a existência de NE não é o problema de decisão natural associado a NE.

— Kaveh

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@ Kaveh: Você pode definir esse problema de decisão para Nash (se você especificar uma codificação de uma solução para Nash), mas o problema é se é a mesma complexidade que Nash ou não, ou formalmente, se esse problema de decisão é redutível a Nash . Duvido, porque encontrar um equilíbrio de Nash satisfazendo alguma restrição adicional geralmente é difícil para o NP.

— Tsuyoshi Ito

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Dado um número inteiro, ele possui um fator não trivial? -> Não trivialmente em P.

Dado um número inteiro, encontre um fator não trivial, se houver um -> Desconhecido no FP.

— Slimton
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Ou você pode perguntar, isso tem um fator primordial? Então você não precisa que o PRIMES esteja no papel P

— Bjørn Kjos-Hanssen

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Aqui está outro exemplo: dado um gráfico cúbico G e um ciclo hamiltoniano H em G, encontre um ciclo hamiltoniano diferente em G. Esse ciclo existe (pelo teorema de Smith), mas, tanto quanto eu sei, está aberto se pode ser possível. calculado em tempo polinomial.

— Marek Chrobak
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Se você der o seguinte "espaço de manobra" para os equilíbrios de Nash, a seguir:

Fatoração de número inteiro, em que o problema de decisão é "Existe uma representação fatorada desse número inteiro?" (trivialmente, sim), e o problema da pesquisa é produzi-lo

Vários problemas de treliça podem se encaixar aqui com o mesmo tipo de subsídio generoso para definir o problema de decisão:

Problema de vetor mais curto (SVP) - decida se existe um vetor mais curto do que o encontrado
Problema do vetor mais próximo (CVP) - decida se existe um vetor mais próximo do que encontrar

Obviamente, são todos os casos em que a versão da decisão que mencionei não é muito interessante (porque é trivialmente o caso). Um problema que não é tão trivial :

Gráfico plano colorabilidade para $k$ $k \ge 4$

O problema de decisão da coloração do gráfico planar 4 está em P. Mas obter a primeira solução lexicograficamente é NP-difícil ( Khuller / Vazirani ).

Observe que a propriedade na qual você realmente está interessado é a auto-redutibilidade (ou melhor, a não-auto-redutibilidade). No problema de coloração do gráfico planar, a questão essencial é que o método de auto-redução do caso geral da colorabilidade- destruirá a planaridade em um gráfico. $k$

— Daniel Apon
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Vamos , o gráfico aleatória em , em que cada aresta está presente de forma independente com probabilidade . Escolha vértices de uniformemente aleatoriamente e adicionar todas as arestas entre as mesmas; chamar o gráfico resultante . Em seguida, tem um clique de tamanho $G=G(n,1/2)$ $1,\ldots,n$ $1/2$ $n^{1/3}$ $G$ $H$ $H$ $n^{1/3}$ .

Problema de pesquisa: encontre um clique de tamanho pelo menos . $10\log n$

— user1624
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Muito arrumado! Existe um artigo relevante sobre isso?

— András Salamon

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@ András: Para dar um pouco mais de fundo, isso é chamado de "problema da camarilha oculta". Se a camarilha oculta plantada estiver nos vértices Omega (sqrt (n log n)), é fácil ver que os vértices da camarilha são aqueles com o mais alto grau, quase certamente. [Alon-Krivelevic-Sudakov] ( tau.ac.il/~nogaa/PDFS/clique3.pdf ) aprimora isso para Omega (sqrt (n)) usando técnicas espectrais. Para panelinhas ocultas de tamanho menor, como O (log n), nada não trivial é conhecido.

— Arnab

Outro problema intrigante relacionado, colocado por Karp, é encontrar um clique do tamanho (1 + c) log (n) em G (n, 1/2), para qualquer constante 0 <c <1. Sabe-se que existe uma camarilha do tamanho 2log (n) quase certamente em G (n, 1/2). Os únicos algoritmos de tempo polinomial conhecidos (como o guloso) encontram cliques de tamanho (1 + o (1)) log (n).

— Arnab

@arnab: Feige e Ron recentemente simplificaram o resultado do AKS (consulte a referência na minha pergunta cstheory.stackexchange.com/questions/1406/… ). Minha pergunta para @Louigi foi realmente sobre a pergunta de

: o que motiva a constante específica, e essa pergunta foi feita em um artigo que se pode citar?

10 \log n

$10\log n$

— András Salamon

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Mais um exemplo; O subconjunto-somas igualdade: Dado números naturais com . O princípio pombo-furo garante a existência de dois subconjuntos , em tal que $a_1,a_2,a_3,...,,a_n$ $\sum_1^n{a_i} \lt 2^n -1$ $I, J$ ${1,2,..., n}$ (já que existem mais subconjuntos que somas possíveis). A existência do algoritmo de tempo polinomial para encontrar os conjuntoseé um famoso problema em aberto. $\sum_{i\in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$ $I$ $J$

Igualdade de subconjuntos-somas (versão pigeonhole)

— Mohammad Al-Turkistany
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Outro exemplo da teoria dos números, semelhante aos acima. É sabido pelo postulado de Bertrand que, para todo número inteiro positivo , existe um primo entre e . Mas atualmente não temos um algoritmo de tempo polinomial para encontrar um valor tão primo, dado . (O algoritmo desejado deve ser executado no tempo polylog ( ).) Pode-se facilmente criar algoritmos aleatórios no tempo polinomial por causa do teorema do número primo ), mas nenhum algoritmo determinístico do tempo polinomial incondicionalmente é conhecido. Trabalhos relacionados foram feitos recentemente no projeto Polymath4 ; A publicação do blog de Tao no projeto é um bom resumo. $n$ $n$ $2n$ $n$ $n$ e pode-se derandomizar ao assumi-lo assumindo algumas conjecturas teóricas numéricas padrão (como a conjectura de Cramer

— arnab
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Mesmo sem o postulado de Bertrand, você tem um algoritmo determinístico com tempo de execução polinomial esperado devido ao Teorema dos Números Primos e ao teste de primalidade AKS.

— quer

@JoeFitzsimons, não sei ao certo o que você quer dizer com "algoritmo determinístico com tempo de execução polinomial esperado".

— Chandra Chekuri

@ChandraChekuri, "determinístico" provavelmente quer dizer que sempre obtém a resposta correta.

— usul

@ChandraChekuri: Desculpe, minha escolha de redação foi ruim. Eu quis dizer que você pode encontrar um número primo com certeza absoluta no tempo polinomial esperado, em vez de simplesmente com erro limitado. Pelo menos, acho que foi isso que eu quis dizer. Isso foi há 3 anos.

— Joe Fitzsimons

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Correndo o risco de ser um pouco fora de tópico, deixe-me dar um exemplo simples e natural de uma resposta C da teoria : Ciclos eulerianos e algoritmos distribuídos.

O problema de decisão não é completamente trivial, no sentido de que existem gráficos eulerianos e não-eulerianos.

Existe, no entanto, um algoritmo distribuído rápido e simples que resolve o problema de decisão (no sentido de que para instâncias yes todos os nós emitem "1" e para instâncias não pelo menos um nó gera "0"): cada nó apenas verifica a paridade de seu próprio grau e gera 0 ou 1 de acordo.

Mas se você deseja encontrar um ciclo euleriano (no sentido de que cada nó produz a estrutura do ciclo em sua própria vizinhança), precisamos de informações essencialmente globais no gráfico. Não deve ser difícil apresentar alguns exemplos que mostrem que o problema requer rodadas de comunicação; por outro lado, rodadas é suficiente para resolver qualquer problema (assumindo IDs únicos). $\Omega(n)$ $O(n)$

Em resumo: -tempo decisão problema, problema de pesquisa -time, e este é o pior diferença possível. $O(1)$ $\Theta(n)$

Editar: Isso implica implicitamente que o gráfico esteja conectado (ou, equivalentemente, que desejamos encontrar um ciclo euleriano em cada componente conectado).

— Jukka Suomela
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Essa pode ser uma pergunta estúpida (porque não sei quase nada sobre computação distribuída), mas existe uma promessa de que o gráfico está conectado ou é fácil verificar a conectividade com eficiência de maneira distribuída?

— Tsuyoshi Ito

Obrigado, não é uma pergunta estúpida. Esclarei minha resposta, esqueci de acrescentar a suposição de que lidamos com gráficos conectados aqui. (Normalmente há pouco ponto em estudar gráficos desligados a partir da perspectiva de algoritmos distribuídos, como, por definição, não há nenhuma maneira de informações de transmissão entre os componentes conectados, mas é claro que isso deve ser explicitado.)

— Jukka Suomela

Obrigado! Depois de ler sua resposta, acho que deveria ter sido óbvio que o gráfico (= topologia de rede) foi assumido como conectado. :)

— Tsuyoshi Ito

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Encontrar partições Tverberg é de complexidade desconhecida:

Teorema: Vamos $x_1,x_2,\dots, x_m$ be points in $R^d$ , $m \ge (r-1)(d+1)+1$ . Then there is a partition $S_1,S_2,\dots, S_r$ of ${1,2,\dots,m}$ such that $\cap _{j=1}^r \text{conv} (x_i: i \in S_j) \ne \emptyset$ .

Like with Nash equilibria, the partition is guaranteed by the theorem, but it's not known if a polytime algorithm exists to find one.

Gil Kalai wrote a wonderful series of posts on this topic: One, Two and Three.

— Suresh Venkat
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Actually, any problem that falls into TFNP would be a good candidate I think. When an answer is guaranteed to exist by a theorem -- then, define some apparently-harder-than-P search problem over the possible solutions to accompany it.

— Daniel Apon

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In all the examples above the decision problem is in P and the search problem is not known to be in P but not known to be NP-hard either. I want to point out that it is possible to have an NP-hard search problem whose decision version is easy.

Consider the generalized satisfiability problem for given relations $R_1,\ldots,R_k$ over Boolean domain $\{0,1\}$ . An instance is an expression of the form

R_{i_{1}} (t_{11}, \dots, t_{1 r_{1}}) \land \dots \land R_{i_{m}} (t_{m 1}, \dots, t_{m r_{m}})

$R_{i_1}(t_{11},\ldots,t_{1r_1}) \wedge \cdots \wedge R_{i_m}(t_{m1},\ldots,t_{mr_m})$ where the

t_{i j}

$t_{ij}$ 's are either variables or constants in

0, 1

${0,1}$ , and

r_{1}, \dots, r_{m}

$r_1,\ldots,r_m$ are the arities of

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\ldots,R_k$ (this is the same framework as in Schaeffer's dichotomy theorem with constants, in case you know what it is). The search problem is: given such an expression, find a lexicographically minimal solution, if there is one.

It was shown by Reith and Vollmer here that there exists a choice of relations $R_1,\ldots,R_k$ that make this problem NP-hard (actually OptP-complete) but keep the satisfiability problem easy (quite trivial actually). An example given in the paper is $R = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$ (here $k = 1$ ). Once the satisfiability problem is solvable in polynomial-time, the question whether there exists a lexicographically minimal satisfying assignment is trivial.

See Corollary 13 and the example following it in the paper above (at least in this on-line version).

— slimton
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Decision version is (highly) non-trival in P: $k$ -colourability ( $k$ fixed) on graphs without induced path with five vertices; due to this paper.
Search version is NP-hard: Finding the chromatic number of graphs without induced path with five vertices; due to this paper.

— Peng O
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You perhaps meant to say that for fixed $k$ , the decision version is in P.

— András Salamon

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Take a "pairing-friendly" elliptic curve. That is, a curve that has a one bilinear map $e$ associated with it - with $e (a + b, c + d) = e (a c) e (a d) e (b c) e (b d)$ such that $e$ is difficult to invert).

Such pairings are used widely in cryptography, partially since given $e$ , it is trivial to solve Decisional Diffie-Hellman (given $(g, h, g^a, h^b)$ , decide if $a = b$ : just verify whether $e (g, h^b) = e (h, g^a)$ ). However, it is still conjectured that the search/computational Diffie-Hellman problem is difficult.

Such groups are also generalized to "gap groups".

— cryptocat
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I guess Planar Perfect Matching got missed out from this list.

The decision version is in NC (even the counting version is in $\mathsf{NC}$ ) by a parallel version (see Mahajan-Subramanya-Vinay) of Kastelyn's algorithm
The search version remains unparallelised to date i.e there is no known deterministic $\mathsf{NC}$ algorithm for this problem (though if we drop either of the parallel or deterministic restrictions there are well known algorithms - Edmonds and Mulmuley-Vazirani-Vazirani/Karp-Upfal-Wigderson, respectively.

— SamiD
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Let's notch up the complexity a bit.

Many decision problems about vector addition systems (VAS) are EXPSPACE-complete, but may require much larger witnesses. For instance, deciding whether the language of a VAS is regular is EXPSPACE-complete (e.g. Blockelet & Schmitz, 2011), but the smallest equivalent finite-state automaton might be of Ackermannian size (Valk & Vidal-Naquet, 1981). The explanation behind this huge gap is that there exist much smaller witnesses of non-regularity.

— Sylvain
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