Qual é a correlação entre a largura da árvore e a dureza da instância para o 3-SAT aleatório?

Este artigo recente do FOCS2013, Strong Backdoors to Bounded Treewidth SAT de Gaspers e Szeider, fala sobre o vínculo entre a largura da árvore do gráfico da cláusula SAT e a dureza da instância.

Para instâncias aleatórias de 3-SAT, ou seja, 3-SAT escolhidas aleatoriamente, qual é a correlação entre a largura da árvore do gráfico de cláusulas e a dureza da instância?

A "dureza da instância" pode ser considerada "difícil para um solucionador SAT típico", ou seja, o tempo de execução.

Estou procurando respostas ou referências de estilo teórico ou empírico. Que eu saiba, não parece haver estudos empíricos sobre isso. Estou ciente de que existem maneiras um pouco diferentes de criar gráficos de cláusulas SAT, mas esta questão não está focada na distinção.

Talvez uma questão natural e intimamente relacionada seja como a largura da árvore do gráfico de cláusulas se relaciona com a transição de fase 3-SAT.

Não é realmente uma resposta, mas as referências mais próximas que conheço. Existem resultados disponíveis para a largura da ramificação. Além disso, há pelo menos um estudo empírico da largura da árvore de instâncias industriais.

• Descobrindo a largura da árvore , H. Bodlaender, 2005. Fornece algoritmos para calcular os limites da largura da árvore.
• Largura da árvore nos benchmarks industriais do SAT , R. Mateescu, 2011. Usa variações dos algoritmos acima para estimar a largura da árvore dos benchmarks de competição do SAT2009.
• Algoritmos e resultados de complexidade para #SAT e inferência bayesiana , F. Bacchus S. Dalmao, T. Pitassi, 2003. Relaciona a largura da ramificação à complexidade de #SAT, 2003.
• Satisfação , tautologias de largura de ramo e tseitina , Alekhnovich, Razborov, 2002.

Em geral, não se espera que instâncias aleatórias do SAT tenham uma largura de árvore limitada, mesmo que sejam fáceis. Aqui está um exemplo:

Uma instância aleatória do k-SAT em variáveis ​​em que cada variável ocorre em cláusulas será um gráfico de expansão e, portanto, terá uma largura de árvore com alta probabilidade. Isso vale no modelo em que fixamos um n e um m (com 3n = km) e escolhemos uniformemente aleatoriamente uma fórmula com n variáveis ​​e cláusulas m, de modo que todas as variáveis ​​estejam exatamente em 3 cláusulas. Ele também se aplica ao modelo de Erdős – Rényi com conjunto de probabilidades, para que as variáveis ​​tenham grau médio .3 θ ( n ) $n$$3$$\theta(n)$$3$

Por outro lado, essa densidade está bem abaixo da transição de fase k-SAT; pelo lema local de Lovasz todas as instâncias regular -SAT são satisfatórias para , ou seja, quandok 4 ⋅ $d$$k$d≤2$4 \cdot \frac{1}{2^k} \cdot dk \leq 1$$d \leq \frac{2^k}{4k}$

Para a outra parte da sua pergunta, eu esperaria (mas eu não testei isso, então eu realmente não sei) que os solucionadores de SAT sejam capazes de explorar pelo menos algumas das simetrias que ocorrem devido a todos os separadores balanceados em um gráfico de largura de árvore delimitada: em uma instância k-SAT de largura de árvore há um conjunto de variáveis ​​de tamanho para que, após você ramificar essas variáveis, a fórmula se divida em componentes conectados com menos de variáveis ​​em cada uma.t n /$t$$t$$n/2$