Um problema simples cuja decisão não é conhecida

Estou me preparando para uma palestra voltada para alunos de graduação em matemática e, como parte disso, estou pensando em discutir o conceito de decidibilidade. Quero dar um exemplo de um problema que atualmente não sabemos ser decidível ou indecidível. Existem muitos desses problemas, mas nenhum parece se destacar como bons exemplos até o momento.

O que é um problema simples de descrever cuja decisão está aberta?

O problema da mortalidade matricial para matrizes 2x2. Ou seja, dada uma lista finita de 2x2 matrizes inteiras M ₁ , ..., M _k , pode o M _i ser multiplicados em qualquer ordem (com arbitrariamente muitas repetições) para produzir a matriz com 0?

(O caso 3x3 é conhecido por ser indecidível. O caso 1x1, é claro, é decidível.)

ATUALIZAÇÃO: O problema que mencionei aqui agora é conhecido por ser indecidível! http://arxiv.org/abs/1605.05274 Além disso, o artigo foi inspirado pela leitura desta mesma resposta. :)

Os programadores do seu público-alvo principal de matemática podem se surpreender ao saber que a pergunta "esse tipo é implicitamente conversível nesse tipo?" não é conhecido por ser decidido em nenhum dos Java 5, C # 4 e Scala 2.

Para mais detalhes, consulte o artigo de Andrew Kennedy e Benjamin Pierce "Sobre a decidibilidade da subtipagem nominal com variação" . O artigo fornece alguns exemplos de restrições adicionais aos sistemas de tipos dessas linguagens, sob as quais a subtipagem nominal se torna decidível ou indecidível.

Curiosamente, o artigo foi escrito bem antes da covariância e contravariância genéricas serem adicionadas ao C #, mas os autores anteciparam corretamente a direção que o idioma estava seguindo. (Isso não é surpreendente; os autores criaram o suporte subjacente à variação no CLR, do qual eu aproveitei ao adicionar variação ao C #! Eles fizeram o trabalho pesado.)

O décimo problema de Hilbert sobre os racionais: "Essa equação polinomial tem uma solução racional?"

O problema de uma recorrência linear, juntamente com seus valores iniciais, leva o valor 0?

Duas referências:

http://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/

http://www.cs.ox.ac.uk/joel.ouaknine/publications/positivity12.pdf

Um problema simples cuja decidibilidade é desconhecida é o seguinte (acho que ainda está aberto):

Xadrez infinito :

Entrada : Uma lista finita de peças de xadrez e suas posições iniciais em um tabuleiro de xadrez; Pergunta : O branco pode forçar o acasalamento?$Z \times Z$

Se adicionarmos a restrição de que as brancas devem acasalar em movimentos ( n faz parte da entrada), torna-se decidível: veja Dan Brumleve, Joel David Hamkins e Philipp Schlicht. .$n$$n$

Outro problema simples é o comportamento da formiga de Langton na configuração inicial finita.

O comportamento das formigas de Langton com suporte finito :

Os quadrados de um avião são coloridos de várias formas em preto ou branco. Arbitrariamente identificamos um quadrado como a "formiga". A formiga pode viajar em qualquer uma das quatro direções cardeais a cada passo que der. A formiga se move de acordo com as regras abaixo:

• Em um quadrado branco, vire 90 ° para a direita, vire a cor do quadrado, avance uma unidade
• Em um quadrado preto, vire 90 ° para a esquerda, vire a cor do quadrado, avance uma unidade

Entrada : uma configuração finita (preto / branco) do plano e da posição da formiga;
Pergunta : A formiga sempre termina de construir uma "estrada" infinita recorrente?

Para suporte infinito, o problema é indecidível, veja: A. Gajardo, A. Moreira e E. Goles, Complexidade da formiga de Langton

O Problema de Collatz é um problema simples de descrever, cuja decisão é aberta. Envolve uma simples recorrência de operações aritméticas elementares.

$f(n)=\mathsf{\{}$ $n/2$$3n+1$

$n_0$

Curiosamente, uma generalização do problema de Collatz mostrou-se indecidível.

Referências:

1- PROBLEMAS INDECIDÁVEIS: UM AMOSTRAGEM, POÇOS DE BJORN

2- Weisstein, Eric W. "Problema de Collatz". De MathWorld - um recurso da Web da Wolfram.

3- O Problema 3X + 1: Uma Visão Geral , Jeffrey C. Lagarias

Não se sabe se é decidível ou não determinar se uma determinada forma pode ladrilhar o plano .

A decidibilidade da contenção de consultas em conjunto está aberta há mais de vinte anos. Resolver isso seria um avanço na teoria do banco de dados.

$Q_1$$Q_2$$Q_1$$I$$Q_2$$I$

Nas consultas conjuntivas, usa-se AND para vincular predicados quantificados existencialmente. Em termos SQL, as consultas conjuntivas são as consultas SELECT-FROM-WHERE usando "=" e "AND", mas sem subconsultas ou agregação. Esse talvez seja o tipo mais comum de consulta ao banco de dados e inclui a maioria das consultas de mecanismos de pesquisa.

$I$$Q_1$$Q_2$

$\ne$

$(N,+,\times)$$(N,+,\times)$

Para indicações sobre a extensa literatura e um tratamento rigoroso, consulte um documento do ToDS (no prelo) de algumas pessoas.

$Q$$R$$Q$$Q \text{ AND } R$$Q$

Problema de correspondência do Post com um número fixo de peças entre 3 e 6.

Embora não seja realmente simples de descrever, ele tem uma descrição muito "divertida", e acho adequada para conversas em nível de intuição.

O problema generalizado da altura das estrelas: "quantos ninhos de estrelas Kleene eu preciso para representar essa linguagem regular, com uma expressão regular com complementação permitida?"

Nem sabemos se o algoritmo que sempre retorna 1 (exceto 0 para idiomas sem estrelas, que é um caso decidível) está correto.

Um problema da teoria de autômatos.

$D$

$x$$D$$x$$x$$L(D) \cap Primes$

Comentários: Eu ouvi esse problema originalmente em uma resposta de stackexchange de Jeffrey Shallit. Se você souber de alguma referência, informe-me. Obrigado!

Mensagens Relacionadas:

(1) Ainda há problemas em aberto nos DFAs?

(2) https://cs.stackexchange.com/questions/48084/determining-if-infinite-binary-language-dfas-contain-at-least-1-prime

Trabalho relacionado: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/br10.pdf

"Elementos mínimos para os números primos" de C. Bright, R. Devillers e J. Shallit

Mapas iterados no intervalo (descrição daqui ):

(muito relacionado ao problema proposto por Magnus Find)

$F$$x$$x$$x$$F(x)$$F(F(x))$$F$$x$$F$

$F$$x$$y$$x$$y$

$F$

$F$$x$$y$$x$$F$

Uma referência: Asarin 2011 .

parece haver uma maneira / ângulo bastante natural de estudar essa questão, que é utilizada em pelo menos três trabalhos, como segue.

$TM(k,l)$$k$$l$$k,l$$k,l$

os resultados podem ser exibidos em uma grade como em algumas das refs a seguir. Também na região intermediária, é sabido que algumas máquinas (não resolvidas) são capazes de simular a conjectura de Collatz para algumas entradas.

portanto, há claramente um "ponto de transição" como fenômenos operando aqui, mas não dentro de uma região computável, mas em um sentido incomum entre computável e não computável.

• Pequenas máquinas de Turing e competição generalizada de castores ocupados Michel

• A complexidade de pequenas máquinas universais de Turing: uma pesquisa Woods, Neary

• Sobre os limites de resolubilidade e insolubilidade em sistemas de tags. Resultados Teóricos e Experimentais De Mol

$2^8$

também como um exemplo de "near miss" ou "questão aberta resolvida relativamente recentemente como TM concluída", a máquina Wolfram 2,3 foi comprovada como universal em 2007 por um prêmio de US $ 25 mil . o concurso foi anunciado em maio de 2007 e o vencedor Smith em outubro de 2007 .

existe uma maneira bastante natural de mapear a maioria dos problemas abertos para questões de (in) decidibilidade. a maioria dos problemas abertos geralmente não é comprovada ou comprovada.

na web, existe alguma confusão informal sobre a indecidibilidade do problema P vs NP , que não é estritamente um problema de decisão; portanto, falar sobre sua indecidibilidade não é tecnicamente correto. mas, por outro lado, parece haver um vínculo próximo / natural entre indecidibilidade e provabilidade, como segue.

por exemplo, considere

$L$$x$$O(n^x)$

esse idioma é decidível? essa é uma pergunta sobre uma linguagem com sua decidibilidade aberta que está basicamente intimamente ligada (até, virtualmente idêntica) ao problema P vs NP e à sua provabilidade inerente (in?).

quanto a P vs NP como "simples de descrever", requer apenas conceitos de TMs , notação de tempo de execução Big O , não determinismo , que são razoavelmente simples (alguns dos conceitos mais básicos do TCS) e ensinados no nível de graduação ou que são talentosos estudante do ensino médio poderia entender.

de fato, NP vs P / Poly também é aberto e pode ser mapeado para uma pergunta aberta sobre decidibilidade da mesma maneira, e isso pode ser afirmado como um problema bastante simples sobre o crescimento de circuitos mínimos (monótonos?) para reconhecer NP completo problemas (por exemplo, panelinhas).