Os autômatos alternativos unidirecionais com o contador único podem reconhecer alguns idiomas não regulares unários?

Os autômatos de empilhamento alternativo unidirecional (1APDA) podem reconhecer qualquer idioma em (Alternação de Chandra, Kozen e Stockmeyer, 1981) . Ao substituir um armazenamento pushdown de um 1APDA por um contador, podemos obter um autômato alternativo unidirecional por um contador (1ACA). Minha pergunta é sobre 1ACAs em idiomas unários.$DTIME(2^{O(n)})$

Os 1ACAs podem reconhecer alguns idiomas não regulares unários ?

Observe que os autômatos de empilhamento não determinísticos unidirecionais podem reconhecer apenas idiomas regulares unários.

$L = \{ a^n \mid n = 2^s, s \geq 0 \}$$L$$m$$2 m$$m$$L$$1$

$n = k_1^{s_1} \ldots k_r^{s_r}$$k_1, \ldots, k_r$$s_1, \ldots, s_r$