Técnicas para provar que uma sentença é relativizada

Estou interessado em como alguém prova que uma sentença é relativizada. Evidentemente, provar que uma sentença não se relativiza é simples, como visto no resultado de Baker-Gill-Solovay; mas como provar que uma sentença é relativizada, isto é, verdadeira em relação a qualquer oráculo? Existem técnicas conhecidas para conseguir isso em sentenças arbitrárias?

Se você conhece alguma referência que aborda essa questão, eu gostaria de ouvi-la. Obrigado.

Normalmente, a maneira como as pessoas provam que um teorema da complexidade é relativizado está usando o seguinte procedimento de duas etapas:

1. Prove o teorema.

2. Observe que sua prova relativiza! Em outras palavras, nada na prova muda se todas as máquinas mencionadas na prova obtiverem acesso ao mesmo oráculo A.

Sim, é realmente tão simples assim. Para torná-lo rigoroso, você deve reescrever toda a prova adicionando sobrescritos de "A" em todo o lugar. Na prática, no entanto, se as pessoas perceberem esse problema, geralmente adicionarão um comentário como "esse resultado é facilmente relativizado".

Se as pessoas parecem arrogantes sobre isso, é porque elas aprenderam, por experiência própria, que apenas certas técnicas (como a aritmetização) podem causar uma prova para não relativizar. Portanto, se sua prova não usar essas técnicas, será relativizada.

(Uma analogia próxima: suponha que você prove um teorema sobre números reais, mas sua prova nunca usa nada sobre os reais, exceto o fato de serem um campo. Então basta observar esse fato, para mostrar que um teorema análogo deve ser mantido. para números complexos, p-adics, etc. Não há necessidade de refazer a prova.)

A única situação em que é necessária mais discussão é onde nem é óbvio o que significa relativizar seu teorema. (Por exemplo, qual é o mecanismo de acesso ao oráculo?) Como Kaveh apontou acima, não há operação matemática bem definida de "relativizar" um teorema da complexidade, assim como não há operação matemática bem definida de "complexificar" um teorema sobre números reais. Observe que, no último caso, não é suficiente substituir todas as ocorrências de R por C: você provavelmente também precisará substituir x ² por | x | ² (em alguns lugares, não em outros!) E faça outras alterações que são "óbvias" para um matemático, mas difíceis de listar formalmente. Da mesma forma, na teoria da complexidade, geralmente éóbvio o que significa "relativizar" um teorema (ou seja, quem deve ter acesso a A e o que significa para eles acessá-lo?), mas em alguns casos pode ser bastante sutil. Veja aqui para mais informações sobre esse problema.

Invertendo sua pergunta, pode-se perguntar:

Existe algum exemplo de um teorema da complexidade relativizante, para o qual é significativamente mais difícil provar que o teorema relativiza do que se o teorema é verdadeiro?

Curiosamente, eu não posso inventar um único exemplo indiscutível (embora talvez alguém possa)! Aqui está o melhor que posso fazer:

1. Trabalhos recentes sobre computação quântica cega e autenticada (por Broadbent-Fitzsimons-Kashefi, Reichardt-Unger-Vazirani e outros) podem levar a exemplos. Nesses casos, a situação é que nós não sabemos se os teoremas relativizar ou não --- mas se eles fazem relativizar, então, certamente, uma ideia nova serão necessários para além do que é nas provas existentes.

2. Indiscutivelmente, outro exemplo pode ser a auto-redutibilidade aleatória do #P. Se você perguntasse à maioria dos teóricos da complexidade por que isso era verdade, eles provavelmente diriam que é porque a permanente é # P-completa e auto-redutível aleatória. Isso é verdade, mas não responde à questão de saber se #P é rsr em relação a qualquer oráculo. Bem, acontece que #P é rsr em relação a qualquer oráculo, e nem é difícil provar isso - mas você precisa fornecer um argumento direto usando polinômios, em vez de apelar para propriedades da permanente.

3. Na Seção 8 do meu artigo de algebrização e de Avi Wigderson , mostramos que o teorema GMW (que NP tem provas computacionais de zero conhecimento) é algebrizante. E que realmente se tomar novas idéias: não "dramaticamente" nova, mas certamente longe de ser encontrado nas provas habituais do teorema GMW. Obviamente, isso é para algebrização e não para relativização.

Adendo: em resposta a uma pergunta adicional do OP, não conheço nenhuma técnica para mostrar que, se você pudesse provar uma certa conjectura de complexidade (que ainda não o fez), sua prova seria necessariamente relativizada. Sim, desde que você restrinja sua "busca por uma prova" apenas a técnicas de relativização, você pode ter certeza de que, se conseguir encontrar uma prova, sua prova será necessariamente relativizada. E, na prática, é muitas vezes o que as pessoas fazem (por exemplo, porque elas têm certas idéias sobre como seria uma prova e essas idéias são relativizadas). Mas não sei como garantir, a priori , que, ampliando sua pesquisa para incluir técnicas não relativizantes, você não conseguiu encontrar uma prova que o tivesse escapado antes.