"Complexidade matricial"

Enquanto navegava em postagens antigas do CStheory.se , deparei-me com uma fascinante publicação no blog sobre o problema da mortalidade matricial . A menos que eu tenha interpretado mal o problema, ele afirma que, dada uma coleção finita de matrizes 3 x 3 com entradas inteiras para cada valor da matriz, é preciso decidir se existe um produto finito dessas matrizes que seja igual a uma matriz composta por todos os zeros.

Surpreendentemente, esse problema é indecidível, devido a uma redução do problema de correspondência Post. Minha pergunta é: Dada a indecidibilidade do problema e seu vínculo com um problema vinculado às máquinas de Turing, é possível mostrar que existe uma maneira de caracterizar (por exemplo) todas as linguagens re, a classe P e a classe NP usando matrizes?

Eu mesmo trabalhei um pouco nisso, mas falta o treinamento para ter certeza se minha crença está correta. Acho que esse problema exigiria um pouco de trabalho da parte do leitor para resolver.

Não sei como usar o LaTeX para escrever matrizes no SE, mas aqui está minha primeira tentativa de caracterizar o NP:

$S$ $k$ $M$ $|M|^k + k$ $S$

Essa tentativa não está completa e inclui qualquer prova, como você vê, mas eu queria dar meus primeiros pensamentos sobre o problema para ver se uma tentativa mais sofisticada poderia ser feita para formalizar uma noção de complexidade da matriz. Isso é interessante porque, como a caracterização de NP por Fagin usando complexidade descritiva, poderia ser usado para caracterizar NP de maneira independente da máquina.

cc.complexity-theory matrix-product

— Philip White
fonte

O uso da terminologia "complexidade descritiva matricial" aqui tem algo a ver com complexidade descritiva? Parece-me que você está tentando expressar classes de complexidade usando operações de matriz, em vez de aplicar a teoria de modelos finitos. Nesse caso, convém remover a marca de complexidade descritiva. Também pode ser útil para nós se você esclareceu a distinção ou conexão entre sua ideia e a Complexidade Descritiva.

— Mdxn

Não sou especialista, mas acreditava que a complexidade "descritiva" é nomeada como é porque é independente das máquinas de Turing. "Descritivo" não significa "lógico" ou "usando a teoria dos modelos finitos" - eu não acho. Eu adicionei a tag de complexidade descritiva porque a geração de caracterizações alternativas e independentes de máquina de classes de complexidade é o objetivo da complexidade descritiva.

— Philip White

Embora a palavra comum em inglês "descritivo" não signifique "usar a lógica / teoria dos modelos finitos", o termo técnico "complexidade descritiva" significa isso.

— David Richerby

Está bem. Eu vou mudar de questão.

— Philip White

M_{1}, . . ., M_{n}

$M_1,...,M_n$

i_{k}

$i_k$

M_{i_{1}} \cdot . . . \cdot M_{i_{m}} = 0

$M_{i_1} \cdot ... \cdot M_{i_m} = 0$

m

$m$

T

$T$

x

$x$

m = O (f (| x |)^{k})

$m = O(f(|x|)^k)$

k

$k$

f (| x |)

$f(|x|)$

T

$T$

x

$x$

Isso não é uma caracterização do NP: é apenas um problema de NP-completo (bem, eu assumo que seja NP-completo, de qualquer maneira). OK, se sim, você poderia caracterizar NP como a classe de problemas redutíveis ao seu problema de matriz, mas como você definirá reduções? Usar reduções de algum modelo de computação existente (por exemplo, máquinas de Turing) seria autodestrutivo. Que vantagens teria essa caracterização sobre, digamos, considerar NP a classe de problemas redutíveis a, digamos, conjunto independente?

$M$

— David Richerby
fonte

"Complexidade matricial" - é possível?