Quão difícil é contar o número de ótimas locais para um problema no PLS?

Para um problema de pesquisa local polinomial , sabemos que pelo menos uma solução (ótima local) deve existir. No entanto, muitas outras soluções podem existir. Quão difícil é contar o número de soluções para um problema completo de PLS? Estou particularmente interessado no problema de decisão: a instância desse problema PLS-complete tem duas ou mais soluções?

A complexidade depende de qual problema de PLS-completo escolhemos? Nesse caso, eu estaria particularmente interessado no 2SAT ponderado (conforme definido em [SY91] e [Rou10]). Sei que contar o número de soluções satisfatórias para o 2SAT é # P-completo, mas, à primeira vista, parece que as ótimas locais do 2SAT ponderado e as soluções para o 2SAT não têm muito em comum.

Sei também que, para o primo da PLS, PPAD, [CS02] mostra que contar o número de equilíbrios de Nash é difícil. Isso sugere que problemas semelhantes de PLS, como contar o número de equilíbrios de pura estratégia em jogos de congestionamento, também seriam difíceis.

Referências

[CS02] Conitzer, V. e Sandholm, T. (2002). Resultados de complexidade sobre os equilíbrios de Nash. IJCAI-03 . cs / 0205074 .

[Rou10] T. Roughgarden. (2010). Equilíbrio computacional: uma perspectiva de complexidade computacional. Economic Theory , 42: 193-236.

[SY91] AA Schaeffer e M. Yannakakis. (1991). Problemas simples de pesquisa local que são difíceis de resolver. Jornal SIAM sobre Computação , 20 (1): 56-87.

Eu posso responder parcialmente à sua pergunta: contar as ótimas locais de um problema de pesquisa completo do PLS pode realmente ser difícil.

Primeiro, como Yoshio ressalta, existe um problema de pesquisa no PLS cujo problema de contagem associado é # P-completo. (Não sabemos se P 1 é PLS-completos, no entanto.) Let P 2 haver algum problema PLS-completo. Em seguida, defina P ′ que, na entrada ( x , i ) para i ∈ { 1 , 2 } , solicita um ótimo local para a entrada x em relação a P i . Esse problema herda a associação PLS de P 1 , P $P_1$$P_1$$P_2$$P'$$(x, i)$$i \in \{1, 2\}$$x$$P_i$$P_1, P_2$, herda a completude PLS de e, para o problema de contagem, herda a completude # P de P 1 .$P_2$$P_1$

Da mesma forma, pode-se construir um problema (artificial) completo de PLS para o qual é NP-completo decidir se existe mais de um local ideal. Como no argumento anterior, um "conjunto" grampos uma PLS-completas problema como antes, com um problema PLS P 2 que, na entrada de uma fórmula booleana ψ , tem mais do que uma óptima local associada sse ψ é satisfeita.$P_1$$P_2$$\psi$$\psi$

Esses tipos de construções são um tanto insatisfatórios porque estamos tentando criar um problema de pesquisa que tenha duas propriedades de dureza, mas o domínio de Q "se divide" em duas partes, cada uma das quais pode ter apenas uma das duas propriedades. Abaixo, mostrarei como, dado um problema de pesquisa P 1 no PLS cujo problema de contagem associado é # P-complete e dado um problema PLS-complete P 2 , pode-se definir um problema Q do PLS que é tão difícil quanto a contagem de P 1 e procure por P 2 de maneira "instância por instância".$Q$$Q$$P_1$$P_2$$Q$$P_1$$P_2$

Nomeadamente, exibiremos tal forma que resolver o problema de contagem de P 1 na entrada x reduza de maneira eficiente para resolver o problema de contagem de Q na entrada x , e o problema de pesquisa de P 2 na entrada x se reduz ao problema de pesquisa de Q na entrada x .$Q$$P_1$$x$$Q$$x$$P_2$$x$$Q$$x$

Para simplificar a apresentação, assumimos que é tal que, em qualquer entrada x de comprimento n , o espaço da solução candidata associado a x está acima das cadeias de bits y de comprimento n c para alguns c (mas com estruturas de vizinhança diferentes para P 1 , P 2 ). Seja F i ( x , y ) a função de condicionamento associada a P i .$P_1, P_2$$x$$n$$x$$y$$n^c$$c$$P_1, P_2$$F_i(x, y)$$P_i$

Na entrada , o espaço de pesquisa para Q está acima das tuplas ( y 1 , y 2 , z , b ) onde cada y i está em { 0 , 1 } n c , z ∈ { 0 , 1 } n c + 1 e b ∈ { 0 , 1 $x \in \{0, 1\}^n$$Q$$(y^1, y^2, z, b)$$y^i$$\{0, 1\}^{n^c}$$z \in \{0, 1\}^{n^c + 1}$$b \in \{0, 1\}$. Como a função de aptidão para Q , definimos$F(x, (y^1, y^2, z, b))$$Q$

se b = 1 , $F(x, (y^1, y^2, z, b)) := F_1(x, y^1) + F_2(x, y^2)$$b = 1$

se b = 0 .$F(x, (y^1, y^2, z, b)) := ||y^1|| + ||z|| + F_2(x, y^2)$$b = 0$

(Isso é o peso de Hamming acima.)

Para a estrutura de vizinhança de , conectamos cada tupla ( x , ( y 1 , y 2 , z , 1 ) ) (com b = 1 ) a todas as tuplas ( x , ( ( y ′ ) 1 , ( y ′ ) 2 , z ′ , 1 ) ) de modo que$Q$$(x, (y^1, y^2, z, 1))$$b = 1$$(x, ((y')^1, (y')^2, z', 1))$

(A) está conectado a ( x , ( y ′ ) i ) de acordo com P i para i = 1 , 2 , E$(x, y^i)$$(x, (y')^i)$$P_i$$i = 1, 2$

(B) diferem em no máximo 1 coordenada.$z, z'$

Para tuplas com , conectamos ( x , ( y 1 , y 2 , z , 0 ) ) a todas as tuplas ( x , ( ( y ′ ) 1 , ( y ′ ) 2 , z ′ , 0 ) ) como naquela$b = 0$$(x, (y^1, y^2, z, 0))$$(x, ((y')^1, (y')^2, z', 0))$

(A ') está conectado a ( x , ( y ′ ) 2 ) de acordo com P 2 , E$(x, y^2)$$(x, (y')^2)$$P_2$

(B ') diferem no máximo em 1 coordenada, assim como y 1 , ( y ′ ) 1 .$z, z'$$y^1, (y')^1$

(Observe que as tuplas com são desconectadas daquelas com b = 1. )$b = 0$$b = 1$

Essa é a definição de . As vizinhanças são do tamanho polinomial conforme necessário, então Q está no PLS. $Q$$Q$

Reivindicação: As ótimas locais para comprimento entrada x de acordo com Q são exatamente os dois conjuntos disjuntos a seguir:$n$$x$$Q$

(1) todas as tuplas , onde ( x , y i ) é um ótimo local de P i para cada um de i = 1 , 2 (e z é arbitrário e b = 1 ); e,$(x, (y^1, y^2, z,1))$$(x, y^i)$$P_i$$i = 1, 2$$z$$b = 1$

$(x, 1^{n^c}, y^2, 1^n, 0))$$(x, y^2)$$P_2$$z, y^1$$b = 0$

$Q$$(x, (y^1, y^2, z,b))$$Q$$x$$(x, y^2)$$P_2$$x$$P_2$

$N(x)$$x$$Q$$(2^{n^c + 1} N_1(x) + 1) \cdot N_2(x)$$N_i(x)$$x$$P_i$$N_2(x)$$[1, 2^{n^c}]$

$N_2(x) = N_2(x)$$2^{n^c + 1} = (2^{n^c + 1} N_1(x) + 1) \cdot N_2(x)$$2^{n^c + 1} = N(x)$$2^{n^c + 1}$

$N_2(x)$$N(x)$$N_1(x)$$N_1(x) = \left(\frac{N(x)}{N_2(x)} - 1\right)/2^{n^c + 1}$$N_1(x)$$N(x)$$Q$$P_1$$Q$

Não sei como fazer essa redução para combinar a dureza PLS com a dureza NP de decidir a exclusividade dos ótimos locais de uma maneira "instância por instância".

$V(x, y)$$L$

$Q$$Q$

Considere o problema de correspondência máxima em gráficos bipartidos. A família de soluções viáveis ​​consiste em todas as correspondências e a pesquisa local é realizada através da localização de caminhos aumentados. O problema pertence ao PLS, pois um caminho de aumento pode ser encontrado no tempo polinomial se uma correspondência atual não for máxima e a máxima pode ser verificada no tempo polinomial. Qualquer ótimo local é uma correspondência máxima (ou seja, ótimo global). No entanto, é difícil calcular o número máximo de correspondências em um gráfico bipartido.

Como um ótimo local pode ser encontrado em tempo polinomial, é improvável que o problema seja PLS completo. Portanto, receio que essa não seja uma resposta pretendida (sua pergunta se restringe a problemas completos do PLS). No entanto, devo salientar que contar o número de ótimos locais pode ser difícil, mesmo que um ótimo local possa ser encontrado com eficiência.