O colapso é

Contidas entre cada nível da hierarquia polinomial existem várias classes de complexidade, incluindo $\Delta_i^{\text{P}}$ , $\text{DP}$ , $\text{BH}_k$ e $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ . Por falta de melhor terminologia, que irá referir-se a estas e quaisquer outros como as classes intermédios entre os níveis $i$ e $i+1$ na hierarquia polinomial. Para os efeitos da presente questão, assumir que eles são as classes contidas em $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ mas contêm e / ou . Queremos evitar incluindo , se possível, como é trivialmente equivalente a se colapsa para a nível. $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ $\text{PH}$ ${i+1}^{th}$

Além disso, definir o seguinte:
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

A descrição acima é uma generalização da classe (também escrita ). Nesta definição, é equivalente a . É considerado em outra questão cstheory.se . É fácil de ver que a e contém tanto e . $\text{DP}$ $\text{D}^\text{P}$ $\text{DP}$ $\text{DP}_1$ $\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$

Diagrama de referência:

Diagrama de PH

Pergunta:
Suponha que a hierarquia polinomial cai no nível, mas não não entrar em colapso ao nível. Isto é, e . ${i+1}^{th}$ $i^{th}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

Podemos dizer algo mais sobre as relações entre essas próprias classes intermediárias e outras em qualquer nível abaixo de ? Existe um esquema para uma coleção de classes de complexidade em que, para cada coleção, as classes são equivalentes se e somente se o entrar em colapso exatamente para um nível escolhido arbitrariamente? $i+1$ $\text{PH}$

Apenas como acompanhamento, suponha que a hierarquia colapsou com qualquer uma dessas classes intermediárias em particular (como ). Dependendo da classe selecionada, sabemos se este colapso deve continuar a se estendem para baixo, talvez até ao nível? $\Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $i^{th}$

A questão acima foi parcialmente explorada e respondida em um artigo de Hemaspaandra et. al:
Um colapso descendente na hierarquia polinomial
Alguém conhece exemplos adicionais não mencionados neste documento ou tem mais intuição sobre o que precisa acontecer para que uma classe faça isso?

cc.complexity-theory polynomial-hierarchy

— mdxn
fonte

Não tenho uma boa resposta, mas, no espírito da complexidade, tenho algumas respostas que sugerem que pode ser difícil encontrar uma boa resposta :).

$\mathsf{\Sigma_i P}$ $i+1$ $i$ $\mathsf{\Sigma_i P}$ $\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$
$\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$ $k$
Ker-I Ko fornece oráculos nos quais ele separa os níveis de daqueles de . Como essas duas hierarquias se entrelaçam, isso fornece pelo menos algumas informações sobre colapsos relativáveis de problemas entre os níveis de . $\mathsf{BPH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$
A próxima referência é a direção errada, mas você também pode estar interessado no resultado e em suas técnicas. Chang e Kadin mostraram que, se a hierarquia booleana (que vive inteiramente abaixo do segundo nível de , mas estende a toda uma hierarquia) entra em colapso ao seu ésimo nível, então colapso até o ésimo nível da hierarquia booleana sobre . $\mathsf{PH}$ $\mathsf{DP}$ $k$ $\mathsf{PH}$ $k$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$

— Joshua Grochow
fonte

Deve be

Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P

$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_k P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$

Δ_{k} P = Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k + 1} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P ?

$\mathsf{\Delta_{k} P}=\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}?$

— T ....

desculpe, mas eu pensei correto? Por exemplo:

Σ_{k - 1}^{P} \cup Π_{k - 1}^{P} \subseteq Δ_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{p} \cap Π_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{P} \cup Π_{k}^{P}

$\Sigma_{k-1}^P\cup\Pi_{k-1}^P\subseteq \Delta_k^P\subseteq \Sigma_k^p\cap\Pi_k^P\subseteq \Sigma_k^P\cup\Pi_k^P$

P = Σ_{0}^{P} \cup Π_{0}^{P} = P \cup P \subseteq Δ_{1}^{P} = P \subseteq Σ_{1}^{p} \cap Π_{1}^{P} = N P \cap c o N P \subseteq Σ_{1}^{P} \cup Π_{1}^{P} = N P \cup c o N P \subseteq Δ_{2}^{P} = P^{N P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cap Π_{2}^{P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cup Π_{2}^{P} \dots

$P=\Sigma_{0}^P\cup\Pi_{0}^P=P\cup P\subseteq \Delta_1^P=P\subseteq \Sigma_1^p\cap\Pi_1^P=NP\cap coNP\subseteq \Sigma_1^P\cup\Pi_1^P=NP\cup coNP\subseteq \Delta_2^P=P^{NP}\subseteq\Sigma_2^P\cap\Pi_2^P\subseteq\Sigma_2^P\cup\Pi_2^P\dots$

— T ....