Uma função booleana que não é constante em subespaços afins de dimensão grande o suficiente

Estou interessado em uma função booleana explícita com a seguinte propriedade: se for constante em algum subespaço afim de , então a dimensão deste subespaço é . $f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}$ $f$ $\\{0,1\\}^n$ $o(n)$

Não é difícil mostrar que uma função simétrica não satisfaz essa propriedade considerando um subespaço . Qualquer tem exatamente 's e, portanto, é constante o subespaço da dimensão . $A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}$ $x \in A$ $n/2$ $1$ $f$ $A$ $n/2$

Postagem cruzada: /mathpro/41129/a-boolean-function-that-is-not-constant-on-affine-subspaces-of-large-enough-dimen

— Alexander S. Kulikov
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O intervalo de f deve ser {0,1} em vez de {0,1} ^ n? Caso contrário, acho que a resposta é trivial (f pode ser o mapeamento de identidade).

— Tsuyoshi Ito

Ah, desculpe, o intervalo é {0,1}, é claro. Fixo.

— Alexander S. Kulikov

Como você pede uma construção explícita, acho que um método probabilístico produz uma prova existencial. Um palpite: O que acontece se identificarmos {0,1} ^ n com o campo finito da ordem 2 ^ n e deixar f (x) = 1 se e somente se x corresponder a um quadrado no campo finito? O conjunto de resíduos quadráticos modudo a primo geralmente parece aleatório, e agora precisamos de um conjunto de vetores que pareça aleatório; portanto, usar o conjunto de quadrados em um campo finito soa como um candidato natural. (Eu não resolvi isso de jeito nenhum, e isso pode estar muito

— errado

Cruz postada em MO . Adicione um link para sua pergunta quando você estiver postando mensagens cruzadas.

— Kaveh

Observe também que a interposição cruzada simultânea é desencorajada .

— Tsuyoshi Ito

Respostas:

Os objetos que você está procurando são chamados de dispersores afins sem sementes com um bit de saída. De maneira mais geral, um dispersor sem sementes com um bit de saída para uma família de subconjuntos de é uma função modo que em qualquer subconjunto , o a função não é constante. Aqui, você está interessado em ser a família de subespaços afins $\mathcal{F}$ $\{0,1\}^n$ $f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $S \in \mathcal{F}$ $f$ $\mathcal{F}$

Ben-Sasson e Kopparty em "Affine Dispergadores de Subspace polinómios" construir explicitamente dispersores afins sem sementes para subespaços de dimensão pelo menos . Os detalhes completos do dispersor são um pouco complicados demais para serem descritos aqui. $6n^{4/5}$

Um caso mais simples também discutido no artigo é quando queremos um dispersor afim para subespaços da dimensão . Então, sua construção visualiza como e especifica que o dispersor é , onde denota o mapa de traços: $2n/5+10$ ${\mathbb{F}}_2^n$ ${\mathbb{F}}_{2^n}$ $f(x) = Tr(x^7)$ $Tr: {\mathbb{F}}_{2^n} \to {\mathbb{F}}_2$ . Uma propriedade chave domapa de rastreioé que. $Tr(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{2^i}$ $Tr(x+y) = Tr(x) + Tr(y)$

— arnab
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Muito obrigado, Arnab! Parece que é exatamente disso que preciso, mas obviamente preciso de tempo para ler o jornal. =)

— Alexander S. Kulikov

A gravação de vídeo de uma palestra de Swastik do papel está aqui: video.ias.edu/csdm/affinedispersers

— Arnab

Mais uma vez obrigado, Arnab! Espero que o vídeo me ajude a entender este artigo (depois de ler as primeiras páginas, vejo que é bastante complicado).

— Alexander S. Kulikov

Uma função que satisfaz algo semelhante ao (mas muito mais fraco que) o que você deseja é o determinante de uma matriz em relação a . Pode ser demonstrado que o determinante de um matriz é não constante em qualquer subespaço afim de dimensão, pelo menos . $\mathbb{F}_2$ $n\times n$ $n^2 - n$

— Ramprasad
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Obrigado, Ramprasad! Isso é realmente muito mais fraco do que eu quero. Mas ainda assim, você poderia dar um link?

— Alexander S. Kulikov

Não conheço um lugar onde isso esteja escrito, mas a prova não é difícil. Para provar a afirmação acima, é suficiente para mostrar que se você tomar o determinante de um

matriz com variáveis em cada entrada, então o polinômio é diferente de zero modulo

funções lineares. Observe que passar para o módulo uma função linear é apenas substituir uma das entradas por uma função linear dos outros vars. Portanto, queremos mostrar que a substituição de apenas

entradas não pode matar o determinante. Deve ser fácil ver que, com apenas permutações, podemos mover todas essas entradas

acima da diagonal. [cntd]

n \times n

$n\times n$

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

— Ramprasad

Uma vez que todas essas entradas são deslocadas acima da diagonal, é claro que o determinante ainda permanece diferente de zero (como todas as entradas abaixo e incluindo a diagonal são independentes, podemos tornar a diagonal inferior completamente zero e a diagonal a ser elementos diferentes de zero para fornecer um determinante diferente de zero). O único truque aqui é que todas as entradas

podem ser deslocadas acima da diagonal.

n - 1

$n-1$

— Ramprasad

Obrigado, Ramprasad! Isso realmente não é difícil de ver.

— Alexander S. Kulikov