Complexidade exata de um problema em

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Seja $x_i \in \{-1,0,+1\}$ para $i \in \{1,\ldots,n\}$ , com a promessa de que $x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$ (onde a soma está acima ). Então, qual é a complexidade de determinar se ? $\mathbb{Z}$ $x = 1$

Observe que trivialmente o problema está em porque iff . A pergunta é: o problema está em ? Se sim, qual é o circuito que está testemunhando isso? Se não, como provar isso? $\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$ $x \equiv 1\bmod{m}$ $x = 1$ $\mathsf{AC}^0$

— SamiD
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Esse problema pode ser trivial, mas não sei a resposta e ficaria muito interessado em saber.

— SamiD 30/10

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Você pode usar o argumento de lema de comutação usual. Você não explicou como representa sua entrada em binário, mas, sob qualquer codificação razoável, a seguinte função é AC equivalente à sua função: (Assumimos que é par.) Após essas notas de aula , suponha que possa ser calculado por um circuito profundidade . Então uma restrição aleatória de deixa uma função da complexidade da árvore de decisão no máximo $^0$

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 0 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 0, \\ 1 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 1, \\ ? & otherwise. \end{cases}

$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$

n

$n$

f

$f$

d

$d$

n^{b}

$n^b$

n - n^{1 / 2^{d}}

$n - n^{1/2^d}$

2^{d} (b + 1) + 1

$2^d(b+1)+1$ com probabilidade de pelo menos . Um cálculo provavelmente mostrará que esta é outra instância de (em um tamanho de entrada menor) com probabilidade e, portanto, existe alguma restrição aleatória que gera uma instância de em entradas e uma função com complexidade constante da árvore de decisão, levando a uma contradição. O mesmo argumento deve gerar limites inferiores exponenciais.

1 - 1 / (3 n)

$1-1/(3n)$

f

$f$

Θ (1 / \sqrt{n})

$\Theta(1/\sqrt{n})$

f

$f$

n^{1 / 2^{d}}

$n^{1/2^d}$

— Yuval Filmus
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Eu acho que a sensibilidade total dessa função também será , então você provavelmente poderia usar isso para obter o limite inferior exponencial na minha resposta. O resultado que cito aqui usa o teorema de Linial-Mansour-Nisan, que usa o lema de comutação + limites simples no espectro de funções de baixa complexidade da árvore de decisão.

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

— Sasho Nikolov

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Eu não acho que isso esteja em AC0 e posso mostrar um limite inferior para o problema de promessa relacionado de distinguir entre e , quando . Técnicas de Fourier semelhantes devem se aplicar ao seu problema, mas eu não verifiquei isso. Ou talvez haja uma redução simples. $\sum x_i = 0$ $\sum x_i = 2$ $x \in \{-1, 1\}^n$

Suponhamos que existe um tamanho profundidade do circuito que calcula uma função , tal que sempre . Porque para um aleatório , a probabilidade de é $s$ $d$ $f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$ $f(x) = \sum_i x_i$ $\sum_i x_i \in \{0,2\}$ $x$ $\sum_i x_i = 0$ , e para cada um dessesexistemcoordenadas que alteram o valor de, a influência total deé, que é aproximadamente o mesmo que maioria (porque você incluiu a maioria das entradas sensíveis da maioria). Por um teorema de Hastad (ver Colorraly 2.5 nasnotas deRyan O'Donnel), isso implica que $2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$ $x$ $n/2$ $f$ $f$ $\Omega(n^{1/2})$

s \geq 2^{Ω (n^{1 / (2 d - 2)})} .

$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$

— Sasho Nikolov
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