Aproximação no tempo subexponencial

Existem estudos sobre algoritmos de aproximação para problemas completos de NP em tempo polinomial e algoritmos exatos em tempo exponencial. Existem estudos sobre algoritmos de aproximação para problemas completos de NP no tempo subexponencial da forma $2^{n^{\delta_2}}$ onde $\delta_2\in(0,1)$ ?

Estou particularmente interessado no que é conhecido sobre problemas aproximados de tempo difícil a polinomial, como número de Independência e número de Clique em tempo subexponencial? Observe que o ETH proíbe apenas o cálculo exato nesse período de tempo. Digamos que o número da independência seja em um gráfico com contagem de vértices para cerca de . É um $\alpha(G)=2^{r(n)n}$ $|V|=2^{s(n)n}$ $0<r(n)<s(n)$ factor-a aproximação esquema possível para o número Independência em vez ondeesão alguns reais positivos fixos? $2^{(r(n)n)^{\delta_1}}$ $2^{|V|^{\delta_2}}=2^{2^{\delta_2s(n) n}}$ $0<\delta_1<1$ $0<\delta_2<1$

Isto é, para cada existe um tal que possa ser aproximado dentro de fator no tempo $\delta_1\in(0,1)$ $\delta_2\in (0,1)$ $\alpha(G)$ $2^{\log_2^{\delta_1}(\alpha(G))}=2^{(r(n)n)^{\delta_1}}$ ? $2^{|V|^{\delta_2}}=2^{2^{\delta_2s(n) n}}$

approximation-algorithms approximation-hardness

— T ....
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você realmente quis pedir tempo de execução sublinear no número independente?

— Sasho Nikolov

Não, o tempo de execução é subexponencial. Totalmente exponencial seria

. Aqui o tempo de execução é da forma

e aqui

2^{| V |}

$2^{|V|}$

2^{| V |^{δ_{1}}}

$2^{|V|^{\delta_1}}$

α (G) = 2^{r (n) n} = | V |^{\frac{r (n)}{s (n)}} < | V | = 2^{s (n) n}

$\alpha(G)=2^{r(n)n}=|V|^{\frac{r(n)}{s(n)}}<|V|=2^{s(n)n}$

— T ....

δ_{2}

$\delta_2$

α (G) < | V | < 2^{| V |^{δ_{2}}} < 2^{| V |}

$\alpha(G)<|V|<2^{|V|^{\delta_2}}<2^{|V|}$

Eu acho que tive erros de digitação antes.

— T ....

Está claro agora?

— T ....

Respostas:

Um artigo que responde a essa pergunta é Chalermsook, Laekhanukit e Nanongkai (2013) .

Também existem trabalhos relacionados no contexto da rastreabilidade de parâmetros fixos, como Hajiaghayi, Khandekar e Kortsarz (2013) e Chitnis, Hajiaghayi, Kortsarz (2013) . Esses resultados de dureza são comprovados sob várias premissas, como ETH ou existência de PCPs muito fortes.

— Igor Shinkar
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arxiv.org/pdf/1308.2617v2.pdf diz "Para qualquer

r

$r$ maior do que alguma constante, qualquer

r

$r$ O algoritmo de aproximação para o problema máximo do conjunto independente deve ser executado em pelo menos

2^{n^{1 - ϵ} / r^{1 + ϵ}}

$2^{{n^{1-\epsilon}}/{r^{1+\epsilon}}}$ Tempo. Isso quase coincide com o limite superior de

2^{n / r}

$2^{n/r}$ ". Então razão de aproximação

r = 2^{(s (n) n)^{δ_{1}}}

$r=2^{({s(n)n})^{\delta_1}}$ pode ser alcançado em

2^{2^{r (n) n - (s (n) n)^{δ_{1}}}} = 2^{2^{1 - \frac{(s (n) n)^{δ_{1}}}{r (n) n} r (n) n}} = 2^{2^{δ_{2} r (n) n}}

$2^{2^{r(n)n - ({s(n)n})^{\delta_1}}} = 2^{2^{1 - \frac{({s(n)n})^{\delta_1}}{r(n)n}r(n)n}}=2^{2^{\delta_2 r(n)n}}$ tempo para alguns

δ_{2} > 1 - \frac{(s (n))^{δ_{1}} n^{δ_{1} - 1}}{r (n)}

$\delta_2 >1 - \frac{({s(n)})^{\delta_1}{n}^{\delta_1-1}}{r(n)}$ ?

— T ....

Voce tem muitos $FPA$ (aproximação de parâmetro fixo) para os quais um parâmetro sublinear se traduz em tempo subexponencial no comprimento da entrada.

For example, approximating the number of simple paths of length $k$ , for some $k=n^c$ (where $c<1$ ), gives you a running time of:

$O((2e)^{n^c}\cdot 2^{polylog(n)})$ .

— R B
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