O problema natural mais conhecido em P?

Pergunto-me, qual é (atualmente) o maior número , de modo que um problema natural seja conhecido com as seguintes propriedades:$k$

1. Um algoritmo já foi encontrado para o problema.$O(n^k)$

2. Para qualquer fixo não algoritmo é conhecido para o mesmo problema. (Observe que um algoritmo mais rápido existir, mas ainda não é conhecido, portanto não estou procurando um limite inferior comprovado.)$\epsilon>0$$O(n^{k-\epsilon})$$may$

3. A descrição do problema em si não depende de . (Essa condição é necessária para excluir casos parametrizados como "localize um clique do tamanho em um gráfico de entrada, para uma constante ").$k$$k$$k$

Em certo sentido, esse problema pode se qualificar como o problema mais difícil, conhecido e natural em (em relação ao expoente do algoritmo mais rápido conhecido).$\bf P$

O algoritmo de teste do AKS Primality pode ser um bom candidato, onde a melhor versão atualmente conhecida do algoritmo tem tempo de execução. Consulte Teste de primazia com períodos gaussianos (Lenstra e Pomerance).$\tilde{O}(n^6)$

Que tal encontrar dois caminhos mais curtos , que possuem um tempo de execução de ?$O(|V|^8)$

Além disso, algoritmo é conhecido por conjunto independente em P 5 Livres de gráficos.$O(|V|^{12}\cdot |E|)$$P_5$

gráficos perfeitos parecem ser fundamentais e, portanto, "naturais" para a teoria / matemática da complexidade de várias maneiras. o algoritmo de reconhecimento é executado no tempo . parece possível que existam outras classes gráficas "naturais" ou "fundamentais" que demoram mais para serem reconhecidas e ainda estão em P.$O(|V(G)|^9)$