Problemas de otimização com boa caracterização, mas sem algoritmo de tempo polinomial

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Considere problemas de otimização do seguinte formulário. Seja uma função computável em tempo polinomial que mapeie uma sequência em um número racional. O problema de otimização é este: qual é o valor máximo de sobre as cadeias de bits ? $f(x)$ $x$ $f(x)$ $n$ $x$

Digamos que esse problema tenha uma caracterização minimax , se houver outra função computável em tempo polinomial , tal que válido. Aqui passa por todas as cadeias de bits e passa por todas as cadeias de bits ; e podem ser diferentes, mas que estão relacionados polinomialmente. $g$

max_{x} f (x) = min_{y} g (y)

$\max_x f(x) = \min_y g(y)$

x

$x$

n

$n$

y

$y$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

Numerosos problemas naturais e importantes de otimização têm essa caracterização minimax. Alguns exemplos (os teoremas nos quais as caracterizações são baseadas mostrados entre parênteses):

Programação Linear (LP Dualidade Thm), Fluxo Máximo (Fluxo Mínimo Máximo de Corte), Correspondência Bipartida Máxima (Konig-Hall Thm), Correspondência Não Bipartida Máxima (Thm de Tutte, fórmula Tutte-Berge), Max Arborescências Disjuntas no gráfico direcionado ( Thm ramificação disjunta de Edmond), Max Spanning Tree Packing em gráfico não direcionado (Tutte's Tree Packing Thm), Min Covering by Forests (Nash-Williams Thm), Max Directed Cut Packing (Lucchesi-Younger Thm), Max 2-Matroid Intersection (Intersection Matroid) Thm), Max Disjoint Paths (Menger Thm), Max Antichain em conjunto parcialmente ordenado (Dilworth Thm) e muitos outros.

Em todos esses exemplos, um algoritmo de tempo polinomial também está disponível para encontrar o melhor. Minha pergunta:

Existe algum problema de otimização com uma caracterização minimax, para a qual nenhum algoritmo de tempo polinomial foi encontrado até agora?

Nota: A programação linear estava nesse status há cerca de 30 anos!

— Andras Farago
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Em algum sentido técnico, você está perguntando se . Suponha-se que , assim existe poli-tempo e de modo que sse e sse . Isso pode ser reformulado como uma caracterização minmax por se e caso contrário; se e caso contrário. Agora, de fato, temos . $P = NP \cap coNP$ $L \in NP \cap coNP$ $F$ $G$ $x \in L$ $\exists y: F(x,y)$ $x \not\in L$ $\exists y: G(x,y)$ $f_x(y) = 1$ $F(x,y)$ $f_x(y) = 0$ $g_x(y) = 0$ $G(x,y)$ $g_x(y) = 1$ $max_y f_x(y) = min_y g_x(y)$

Portanto, nesse sentido, qualquer problema conhecido em mas não em pode ser transformado em resposta à sua pergunta. Por exemplo, fatoração (digamos, a versão de decisão sobre se o ésimo bit do maior fator é 1). $NP \cap coNP$ $P$ $i$

— Noam
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Fiquei com a impressão de que algumas pessoas chegam ao ponto de tomar como uma definição de "boa caracterização".

N P \cap c o N P

$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

— 19372 Joshua Grochow

E para obter uma lista de tais problemas, consulte mathoverflow.net/questions/31821/…

— Rahul Savani

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Seymour e Thomas mostraram uma caracterização min-max da largura da árvore. No entanto, a largura da árvore é NP-difícil. Entretanto, esse não é o tipo de caracterização que você está solicitando, porque a função dupla não é uma função computável em tempo polinomial de um certificado curto. Provavelmente, isso é inevitável para problemas completos de NP, porque, caso contrário, teríamos um problema de NP completo na coNP, implicando um colapso NP = coNP, e eu consideraria isso bastante chocante. $g$

O treewidth de um grafo é igual ao menor menor largura de uma decomposição árvore da . Uma decomposição em árvore de um gráfico é uma árvore modo que cada vértice de seja rotulado por um conjunto de vértices de com a propriedade: $G$ $G$ $G$ $T$ $x$ $T$ $S(x)$ $G$

Para todos os , . $x \in V(T)$ $|S(x)| \leq k+1$
A união de todos os é o conjunto de vértices de . $S(x)$ $G$
Para cada , o subgrafo de induzido por todo para o qual está conectado. $u \in V(G)$ $T$ $x$ $u \in S(x)$
Toda aresta é um subconjunto de alguns para . $(u, v) \in E(G)$ $S(x)$ $x \in V(T)$

Seymour e Thomas mostraram que a largura da árvore é igual ao número de amora de : o máximo tal que existe uma coleção de subgráficos conectados de modo que: $G$ $k$ $G$

Cada dois subgráficos estão se cruzando ou conectados por uma aresta.
Nenhum conjunto de vértices de atinge todos os subgráficos. $k$ $G$

Essa coleção de subgráficos é chamada de amora de ordem $k$

Observe como "o número de bramble é pelo menos " é uma instrução , com ambos os quantificadores em conjuntos exponencialmente grandes. Portanto, não sugere um certificado fácil de verificar (e se houvesse um que fosse realmente uma grande notícia, como eu disse acima). Para tornar as coisas ainda piores, Grohe e Marx mostraram que para cada existe um gráfico da largura da árvore tal forma que qualquer tipo de ordem pelo menos deve consistir em muitos subgráficos exponencialmente. Eles também mostram que existem espiras da ordem de tamanho polinomial. $k$ $\exists\forall$ $k$ $k$ $k^{1/2 + \epsilon}$ $k^{1/2}/O(\log^2 k)$

— Sasho Nikolov
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Obrigado, é um exemplo muito bom, mesmo que não se enquadre na categoria que estou procurando. É interessante notar que esse teorema min-max sobre a largura da árvore foi publicado em 1993 e, na época, a completude NP da largura da árvore já era conhecida. Portanto, o resultado poderia ter servido como um motivo para conjecturar PN = coNP. Enquanto o limite inferior exponencial no tamanho da amora o desqualificou para esse papel, esse limite inferior foi publicado apenas 16 anos depois.

— Andras Farago 15/02

Andras, na época, também sabia que acertar no set é difícil em geral (era um dos 21 problemas de Karp). Portanto, mesmo com espinhos de tamanho polinomial, calcular a ordem não é fácil, a menos que você possa, de alguma forma, usar a estrutura dos espinhos. Ainda assim, é interessante que o tamanho das sarças não tenha sido investigado anteriormente.

— Sasho Nikolov

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Jogos de paridade, jogos de recompensa média, jogos com desconto e jogos estocásticos simples se enquadram nessa categoria.

Todos eles são infinitos jogos de soma zero para dois jogadores, jogados em gráficos, onde os jogadores controlam vértices e escolhem para onde um token deve ser seguido. Todos têm equilíbrios nas estratégias posicionais sem memória, o que significa que cada jogador escolhe uma vantagem em cada vértice da escolha de maneira determinística e independente da história do jogo. Dada a estratégia de um jogador, a melhor resposta do outro jogador pode ser calculada em tempo polinomial, e o relacionamento mínimo e máximo necessário para o "valor" do jogo.

As variantes naturais de decisão desses problemas estão em NP e co-NP (de fato, UP e co-UP) e os problemas de função, para encontrar um equilíbrio, estão em PLS e PPAD.

Os algoritmos com tempo de execução mais conhecido são subexponenciais, mas super polinomiais (por exemplo, , ondeé o número de vértices no gráfico do jogo). $O(n^\sqrt{n})$ $n$

Veja, por exemplo,

David S. Johnson. 2007. A coluna NP-completeness: Localizando agulhas em palheiros. ACM Trans. Algoritmos 3, 2, Artigo 24 (maio de 2007). DOI = 10.1145 / 1240233.1240247 http://doi.acm.org/10.1145/1240233.1240247

— Rahul Savani
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