Essa é uma condição equivalente para posets algébricos?

A definição de "poset algébrico" em Malhas e Domínios Contínuos , Definição I-4.2, diz que, para todos os ,$x \in L$

• o conjunto deve ser um conjunto direcionado e$A(x) = {\downarrow} x \cap K(L)$
• .$x = \bigsqcup ({\downarrow} x \cap K(L)$

Aqui é um poseto, K ( L ) é o conjunto de elementos compactos de L e ↓ x significa { y ∣ y ⊑ x } .$L$$K(L)$$L$${\downarrow} x$$\{y \mid y \sqsubseteq x\}$

Fiquei um pouco surpreso com a primeira condição. É um argumento fácil mostrar que, se e k 2 estão em A ( x ), então k 1 ⊔ k 2 também está em A ( x ) . Portanto, todos os subconjuntos finitos não vazios de A ( x ) têm limites superiores. A única questão é se o subconjunto vazio possui um limite superior, ou seja, se A ( x ) não é vazio em primeiro lugar. Então,$k_1$$k_2$$A(x)$$k_1 \sqcup k_2$$A(x)$$A(x)$$A(x)$

• É correto substituir a primeira condição por não ser vazia?$A(x)$
• Qual é o exemplo de uma situação em que está vazio?$A(x)$

Nota adicionada: Como está em A (x)? Em primeiro lugar, uma vez k 1 ⊑ x e k 2 ⊑ x , temos k 1 ⊔ k 2 ⊑ x . Segundo, k 1 e k 2 são compactos. Portanto, qualquer conjunto direcionado que vá "além" deles deve "passá-los". Suponha que um conjunto direcionado u vá além de k 1 ⊔ k 2 , ou seja, k 1 ⊔ k 2 ⊑ ⊑ $k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqsubseteq x$$k_2 \sqsubseteq x$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq x$$k_1$$k_2$$u$$k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq \bigsqcup u$. Uma vez que foi além e k 2 , que deve ter passado los, isto é, não são elementos Y 1 , Y 2 ∈ u tal que k um ⊑ y 1 e k 2 ⊑ y 2 . Como u é um conjunto direcionado, ele deve ter um limite superior para y 1 e y 2 , digamos y . Agora, k 1 ⊔ k 2 ⊑ y ∈ d . Isto mostra que$k_1$$k_2$$y_1, y_2 \in u$$k_1 \sqsubseteq y_1$$k_2 \sqsubseteq y_2$$u$$y_1$$y_2$$y$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq y \in d$ é compacto. As duas peças juntas dizem k 1 ⊔ k 2 ∈ A ( x ) .$k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqcup k_2 \in A(x)$

Um exemplo em que está vazio é o conjunto de números reais R com a ordem usual. Não possui elementos compactos.$A(x)$$\mathbb{R}$

$A(x)$$A(x) = \emptyset$$x$$L$$x \in A(x) = \emptyset$

$L$$\mathbb{N}$$\infty$$\iota_1(n)$$\iota_2(n)$$n$

• $\iota_1(m) \leq \iota_1(n) \iff m \leq n$
• $\iota_2(m) \leq \iota_2(n) \iff m \leq n$
• $x \leq \infty$$x$

$\infty$

1. ${\downarrow}x \cap K(L) \neq \emptyset$

2. $x = \bigvee ({\downarrow}x \cap K(L))$

3. ${\downarrow}\infty \cap K(L) = \mathbb{N} + \mathbb{N}$