Usando a complexidade de Kolmogorov como "tamanho" de entrada

Digamos que temos um problema computacional, por exemplo, 3-SAT, que tem um conjunto de instâncias de problemas (possíveis entradas) . Normalmente, na análise de algoritmos ou teoria da complexidade computacional, temos alguns conjuntos de todas as entradas de comprimento e uma função que fornece o tempo de execução de algum algoritmo de solução na entrada . A pior sequência de tempo de execução para é então I ( n ) = { w ∈ S : | w | = n } n T ( w ) A w A f n = max w ∈ I ( n ) T ( w ) $S$

$$I(n) = \{w \in S : |w| = n\}$$ $n$$T(w)$$A$$w$$A$ $$f_n = \max_{w \in I(n)} T(w).$$

Vamos agora definir os conjuntos de todas as entradas com complexidade Kolmogorov e definir a sequência Aqui é a sequência média de tempo de execução para , exceto onde o "tamanho" das entradas é a complexidade de Kolmogorov, não o comprimento.n f K n =

$$I^K(n) = \{w \in S : K(w) = n \}$$ $n$fK $$f^K_n = \frac{1}{\left|I^K(n)\right|} \sum_{w \in I^K(n)} T(w).$$ $f^K$$A$

Existem algoritmos para os quais é assintoticamente significativamente diferente de ? Em caso afirmativo, existem problemas cuja complexidade de tempo muda ao usar essa maneira diferente de analisar algoritmos?f K $f_n$$f^K_n$

Considere a função de paridade (ou qualquer outra função que dependa de todos / a maioria dos bits da entrada). Para a função de paridade, . Então Por outro lado, $T(w) = \Theta(|w|)$

$$f_n = \Theta(n).$$ $$f_n^K = \Theta\left(\frac{1}{|I^K(n)|} \sum_{w:K(w) = n} |w|\right) \geq \Omega\left(\frac{1}{2^n} \max_{w:K(w) = n} |w|\right).$$

Observe que . Assim e . Da mesma forma, ; assim “cresce muito rapidamente”. Além disso, não é difícil ver que não há computável limite superior para .$K(2^{2^n}) = O(n)$

$$\max_{w:K(w) = n} |w| \geq 2^{2^{\Omega(n)}}$$ $f_n^K \geq 2^{2^{\Omega(n)}} / 2^n \to \infty$$K(2^{\dots^{2^{2^n}}}) = O(n)$$f_n^K \geq 2^{\dots^{2^{2^{\Omega(n)}}}}/2^n$$f_n^K$

Dado o interesse por essa pergunta, achei que seria útil apontar mais explicitamente a razão pela qual não devemos nos surpreender com a resposta e tentar dar alguma orientação para aprimoramentos da pergunta. Isso coleta e expande alguns comentários. Peço desculpas se isso é "óbvio"!

Considere o conjunto de cadeias de caracteres de complexidade Kolmogorov : Existem no máximo dessas strings, pois existem descrições de comprimento . Mas observe que esse conjunto é indecidível para geral (caso contrário, poderíamos calcular apenas iterando de para e verificando a associação em ). Além disso, a função cresce incrivelmente rápido. É uma variante da função de castor ocupado: qual é a saída mais longa de uma máquina de Turing de comprimento descritivoJ K$n$

$$J^K(n) = \{w : K(w) = n\}.$$ $2^n$$2^n$$n$$n$$K(w)$$n=1$$|w|$$J^K(n)$ $$g^K(n) = \max_{w \in J^K(n)} |w|$$ $n$? Se isso aumentasse mais lentamente do que alguma função computável, poderíamos decidir o problema da parada: dado um TM , construa que simula e imprime em cada etapa. Se o comprimento da descrição de for , então: parará no máximo etapas; ou não para.$M$$M'$$M$$1$$M'$$n$$M$$g^K(n)$$M$

Agora, para a pergunta de Andrew, temos que , onde é o idioma original. Portanto, a única maneira de evitar contendo entradas muito grandes em seria se contivesse apenas seqüências de caracteres muito compactáveis. (Observe que, caso contrário, podemos ignorar completamente a distinção entre análise de pior e de caso médio aqui, porque calculamos a média de mais de strings, mas o tamanho da maior string está crescendo mais rápido do que qualquer função computável de . )$I^K(n) = S \cap J^K(n)$$S$$I^K(n)$$n$$S$$2^n$$n$

Eu sinto que é provavelmente impossível construir qualquer não trivial (isto é, infinito) que contenha apenas cadeias não compactáveis, mas que seja decidível. Mas eu não sei. No entanto, espero que isso dê intuição a respeito de por que não devemos esperar que a maioria dos idiomas tenha crescendo mais lentamente que uma função computável.$S$$f^K_n$

Para recuar um pouco, a questão é comparar o desempenho nas entradas de comprimento com o desempenho nas entradas que podem ser compactadas no comprimento . Mas temos noções de compressão que são muito mais tratáveis ​​(e menos poderosas) que a Complexidade Kolmogorov. Uma maneira simples é fornecer um circuito de tamanho , que na entrada o número binário produz o ésimo bit de . Observe que aqui a ampliação do tamanho da entrada é no máximo exponencial (um circuito do tamanho tem no máximo entradas possíveis).$n$$n$$n$$b$$b$$w$$n$$2^n$

Assim, podemos reformular a pergunta, deixando E defina analogamente. A razão da esperança aqui é que a maioria das cordas requer um circuito quase tão grande quanto a própria corda, e nenhuma corda é mais do que exponencialmente maior que o circuito necessário. Talvez neste caso nós poderíamos encontrar línguas onde e são semelhantes assintoticamente.

$$I^C(n) = \{ w \in S : \text{the smallest circuit implicitly specifying $w$ has size $n$}\}.$$ $f^C_n$$f_n$$f^C_n$

Uma questão bem relacionada é a complexidade de linguagens implícitas como IMPLICIT_SAT é NEXP-complete, e geralmente a versão implícita dos problemas de NP-complete é NEXP-complete. Decidir IMPLICIT_SAT é pelo menos tão fácil quanto usar o circuito para escrever todos os e executar um algoritmo para SAT em . Portanto, se para SAT, isso parece quase uma evidência de que IMPLICIT_SAT no caso médio é quase tão rapidamente decidível quanto SAT no pior caso. Mas não sei como comparar diretamente sua noção com linguagens implícitas porque a noção de "menor circuito para

$$\mathsf{IMPLICIT\_SAT} = \{ \text{circuits $C$}: \text{$C$ implicitly specifies $w$}, w \in \mathsf{SAT}\}.$$ $w$$w$$f^C_n = \Theta(f_n)$$w$"não entra em jogo para idiomas implícitos.

Espero que isso seja útil / interessante!

Não tenho certeza de um livro que mencione problemas implícitos, mas aqui estão algumas notas de aula: http://people.seas.harvard.edu/~salil/cs221/spring10/lec8.pdf

Um caso fácil parece ser o local em que o idioma contém apenas instâncias preenchidas. Quando é obtido de um idioma , preenchendo cada instância do tamanho com símbolos, pode estar na região de .S L n 2 n - n f K n 2 f $S$$S$$L$$n$$2^n-n$$f^K_{n}$$2^{f_n}$