Quanto tempo para reconhecer palíndromos no espaço logarítmico?

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É sabido que os palíndromos podem ser reconhecidos em tempo linear em máquinas de Turing de fitas, mas não em máquinas de Turing de fita única (nesse caso, o tempo necessário é quadrático). O algoritmo de tempo linear usa uma cópia da entrada e, portanto, também usa um espaço linear. $2$

Podemos reconhecer palíndromos no tempo linear de uma máquina de Turing multitape, usando apenas um espaço logarítmico? De maneira mais geral, que tipo de troca espaço-tempo é conhecida pelos palíndromos?

— Bruno
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Usando sequências cruzadas ou complexidade da comunicação, é simples derivar a compensação para uma máquina de Turing sequencial usando o tempo e o espaço . $T(n)S(n) = \Omega(n^2)$ $O(T(n))$ $O(S(n))$

Este resultado foi obtido pela primeira vez por Alan Cobham usando sequências de cruzamento no artigo O problema de reconhecimento para o conjunto de quadrados perfeitos que apareceu na SWAT (mais tarde FOCS) de 1966.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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Você pode usar o mesmo argumento usado para provar o tempo associado à fita única. $\Omega(n^2)$

Suponha que você tenha uma TM com espaço que reconheça palíndromos (onde é o inverso de ) no tempo . Quando a cabeça (de entrada) cruza o meio ela pode transportar apenas bits de informação. Portanto, ele precisa fazer cruzamentos , e cada cruzamento requer tempo. $S(n)$ $\{x\,0^{\frac{n}{3}} x^R \mid |x|=n/3 \}$ $x^R$ $x$ $T(n)$ $0^{n/3}$ $S(n)$ $\Omega(n / S(n))$ $n/3$

Então . $T(n)S(n)=\Omega(n^2)$

— Marzio De Biasi
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Ops ... depois de escrever a resposta, vi que o Kristoffer já havia postado a solução. Aceita a resposta dele, deixo a minha apenas porque tem mais alguns detalhes.

— Marzio De Biasi

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Eu acho que foi praticamente simultâneo.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen 03/03

Como você sugeriu, aceitei a resposta de Kristoffer, pois ele era um pouco mais cedo ... Obrigado a vocês dois!

— Bruno

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{x 0^{\frac{n}{3}} x^{R} ∣ | x | = | y | = n / 3}

$\{x0^{\frac{n}{3}} x^R \mid |x|=|y|=n/3 \}$

{x 0^{\frac{n}{3}} x^{R} ∣ | x | = n / 3}

$\{x0^{\frac{n}{3}} x^R \mid |x|=n/3 \}$

^{R}

${}^R$

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Além das outras respostas, vale ressaltar que, se a aleatorização for permitida, os palíndromos podem ser reconhecidos com O (1) espaço e O (n) tempo, fazendo o hash do lado esquerdo da string, a transposição do lado direito do string e verificando se os hashes são iguais. Não deve ser difícil fazer isso em uma máquina de Turing.

— bolinho de massa mobius
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