Dureza UGC do predicado para ?

Antecedentes :

No artigo UGC original de Subhash Khot ( PDF ), ele prova a dureza UG de decidir se uma determinada instância CSP com restrições de todo o formato Não igual a todos (a, b, c) ao longo de um alfabeto ternário admite uma tarefa que satisfaça 1 - das restrições ou se não existem atribuições que satisfaçam das restrições, por arbitrariamente pequenos .$\epsilon$ϵ>$\frac{8}{9}+\epsilon$$\epsilon > 0$

Estou curioso para saber se esse resultado foi generalizado para qualquer combinação de restrições -ary para e domínios variáveis ​​de tamanho que . Isso é,l de ≥ 3 k ≥ 3 l de ≠ k ≠ $\ell$$\ell \ge 3$$k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

Pergunta :

Existem resultados de dureza conhecidos de aproximação para o predicado para para e ? x i ∈ G F ( k ) ℓ , k ≥ 3 ℓ ≠ k ≠ $NAE(x_1, \dots, x_\ell)$$x_i \in GF(k)$$\ell, k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

Estou especialmente interessado na combinação de valores ; por exemplo, o predicado Não é igual ( ) para .x 1 , … , x k x 1 … , x k ∈ G F ( k $\ell = k$$x_1, \dots, x_k$$x_1 \dots, x_k \in GF(k)$

Percebi que o que afirmei acima é de fato conhecido.

Para e k arbitrário ≥ 3 , isso está no artigo do FOCS 2002, de Khot, "Dureza da coloração de hipergrafos de 3 cores e 3 uniformes" (o artigo fala sobre k geral , embora o título fale apenas sobre o caso de 3 cores) .$\ell = 3$$k \ge 3$$k$

Para e k ≥ 2 , de facto, uma dureza mais forte é conhecido. Mesmo se houver de fato uma atribuição de apenas dois valores para as variáveis que satisfaz todas as restrições NAE (em outras palavras, o ℓ hipergrafo -uniform podem ser coloridos usando 2 cores sem qualquer hyperedge monocromática), ainda é NP-difícil encontrar uma atribuição de um tamanho de domínio k que satisfaça pelo menos 1 - 1 / k ℓ - 1 + ϵ restrições NAE (para constante arbitrária ϵ > $\ell \ge 4$$k \ge 2$$\ell$$k$$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$$\epsilon > 0$) Isso decorre facilmente do fato de que o resultado conhecido de inadequação para a coloração com hipergrafo 2 fornece uma forte declaração de densidade no caso da solidez. A declaração formal aparece em meu artigo da SODA 2011 com Ali Sinop "A complexidade de encontrar conjuntos independentes em gráficos limitados (hiper) de baixo número cromático" (Lema 2.3 na versão final do SODA e Lema 2.8 na versão mais antiga disponível no ECCC http://eccc.hpi-web.de/report/2010/111/ ).

Cheguei nesta página a partir de uma pesquisa sobre o NAE-3SAT.

Tenho certeza de que, para o problema que você está perguntando, deve ser NP-difícil dizer se a instância é satisfatória ou se no máximo fração de restrições pode ser satisfeita. Ou seja, um resultado de dureza apertada (correspondendo ao que seria simplesmente escolher uma tarefa aleatória), para instâncias satisfatórias e sem necessidade do UGC.$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$

Para e ℓ ≥ 4 , isso decorre do resultado da falta de aproximação de fator 7/8 + epsilon de Hastad para divisão de 4 conjuntos (que pode ser reduzida para divisão de k conjunto para k > 4 ). Se as negações estiverem corretas, também é possível usar o resultado de sua dureza para Max ( ℓ - 1 ) -SAT.$k=2$$\ell \ge 4$$k > 4$$\ell-1$

Para , Khot provou isso em um artigo da FOCS 2002 "Dureza da coloração de hipergrafos de 3 cores e 3 uniformes". (Ou seja, ele removeu a suposição original do UGC.)$k=\ell=3$

Para e k arbitrário ≥ 3 , Engebretsen e eu provamos esse resultado em "A satisfação com restrições sobre duas variáveis ​​é sempre fácil? Estrutura aleatória. Algoritmos 25 (2): 150-178 (2004)". No entanto, acho que nosso resultado exigiu "dobragem", ou seja, as restrições terão o formato NAE ( x i + a , x j + b , x k ) para algumas constantes a , b . (Este é o análogo de permitir negações de variáveis ​​booleanas.)$\ell=3$$k\ge 3$$x_i+a,x_j+b,x_k$$a,b$

Para o caso geral, não sei se isso foi anotado em algum lugar. Mas se você realmente precisar, provavelmente posso encontrar algo ou verificar a reivindicação.

Prasad Raghavendra em seu Best Paper do STOC'08 provou, assumindo a Unique Games Conjecture, que um algoritmo de programação semidefinido simples fornece a melhor aproximação para qualquer problema de satisfação de restrições (incluindo NAE) com restrições no número constante de variáveis ​​e com alfabeto constante. Para realmente saber qual é o fator de dureza para o NAE, é necessário entender o desempenho do algoritmo simples, ou seja, provar uma lacuna de integralidade para o programa. Não sei se alguém já fez isso pelo NAE em sua generalidade total ou não.