Consequências da existência de um algoritmo fortemente polinomial para programação linear?

Um dos Santo Graal do projeto de algoritmos é encontrar um algoritmo fortemente polinomial para programação linear, ou seja, um algoritmo cujo tempo de execução é limitado por um polinômio no número de variáveis e restrições e é independente do tamanho da representação dos parâmetros (assumindo custo unitário aritmético). A solução dessa questão teria implicações fora dos melhores algoritmos para programação linear? Por exemplo, a existência / inexistência de tal algoritmo teria alguma conseqüência para a geometria ou a teoria da complexidade?

Edit: Talvez eu deva esclarecer o que quero dizer com consequências. Estou procurando conseqüências matemáticas ou resultados condicionais, implicações que são conhecidas por serem verdadeiras agora . Por exemplo: "um algoritmo polinomial para LP no modelo BSS separaria / colapsaria as classes de complexidade algébrica FOO e BAR" ou "se não houver um algoritmo fortemente polinomial, ele resolverá essa e outras conjecturas sobre polítopos" ou "a algoritmo fortemente polinomial para o problema X que pode ser formulado como um LP teria conseqüências interessantes blá ". A conjectura de Hirsch seria um bom exemplo, exceto que ela só se aplica se simplex for polinomial.

— Ian
fonte

Também não é preciso dizer que a técnica de prova usada para mostrar esse resultado pode ser ainda mais interessante do que o resultado em termos de impacto a longo prazo.

— Suresh Venkat

Respostas:

Isso mostraria que os jogos de paridade e pagamento médio estão em P. Veja Sven Schewe. Dos Jogos de Paridade e Pagamento à Programação Linear. MFCS 2009.

— Rahul Savani
fonte

excelente. Eu gostaria de poder dar a isso mais de um +1. este é um resultado muito legal.

— Suresh Venkat

Alguém poderia elaborar como um algoritmo fortemente polinomial para LP implicaria isso? Schewe constrói uma instância de LP de tamanho polinomial com números duplamente exponencialmente grandes. Bem. Agora, executamos o algoritmo de tempo fortemente polinomial. Mas não precisamos simular as operações aritméticas que esse algoritmo faz? Como é feita essa simulação sem gastar tempo super-polinomial? (lembre-se de que os números são duplamente exponenciais; acho que alguém poderia fazer o truque restante chinês, mas podemos fazer comparação de números dessa maneira em tempo polinomial?).

— slimton

Ainda não li o artigo com cuidado, mas, pelo que entendi, eles estão apenas provando que o problema está em P no modelo Real RAM / BSS ( en.wikipedia.org/wiki/Blum%E2%80%93Shub%E2 % 80% 93Smale_machine ), não a versão normal de P. Você pode definir modelos de computação em qualquer anel R (consulte ams.org/notices/200409/fea-blum.pdf ). Acima de obtemos Máquinas de Turing normais, e acima dos reais obtemos o modelo BSS. Cada anel tem sua própria versão de P, que pode não ser igual ao padrão P.

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$

R

$\mathbb{R}$

— Ian

Esclarecimento sobre o meu comentário anterior: se existe um algoritmo fortemente polinomial para LP, ele é polinomial no modelo BSS; nesse caso, o artigo implica que jogos de paridade e pagamento também estão em P no modelo BSS.

— Ian

@Ian: Em outras palavras: esta resposta foi um pouco enganadora (mas isso não impediu você de aceitá-la como resposta válida).

— slimton

Depende da resposta. Se o algoritmo criado tiver tempo de execução , isso terá muito pouco impacto. Por outro lado, se levar a uma nova maneira de resolver LPs, poderá ter um impacto tremendo. Por exemplo, se eu me lembro da história corretamente (e posso estar completamente errado ), o algoritmo elipsóide, por exemplo, além de seu significado teórico, leva (?) Ao desenvolvimento do método do ponto interior, que em alguns casos era mais rápido que o simplex algoritmo. Isso levou a uma aceleração significativa na prática, pois as duas abordagens foram pressionadas para o limite máximo do que pode ser feito. $(d n)^{Ackerman(10000)}$

— Sariel Har-Peled
fonte

Mas essas condições mantêm praticamente qualquer resultado teórico: pode ou não ser útil, dependendo do tempo de execução, e as técnicas / idéias no resultado podem levar a avanços futuros.

— Ian

Na verdade não. Se alguma forma da conjectura de Hirsch for verdadeira e a prova for construtiva, quase certamente levaria a solucionadores mais rápidos para LP. Em suma, se a pergunta é específica, suas implicações são claras e, se a pergunta for ampla, pode não resultar em nada. Em outras palavras, a única conseqüência segura do algoritmo de tempo polinomial para LP é que entenderíamos o problema melhor do que agora.

— Sariel Har-Peled

Aqui está uma consequência para a geometria: Um limite fortemente polinomial para qualquer variante (aleatória ou determinística) do algoritmo simplex implica um limite polinomial no diâmetro de qualquer gráfico de polítopo. Isso implica que a "versão polinomial" da conjectura de Hirsch é verdadeira.

— Shiva Kintali
fonte

mas não há razão para acreditar que um algoritmo de tempo fortemente polinomial para LPs precise seguir o método simplex. Os métodos mais conhecidos até agora (subexponenciais) usam uma estratégia de amostragem aleatória + recursão.

— Suresh Venkat

Opa Eu errei o ponto.

— Shiva Kintali

Isso é válido apenas se o simplex for fortemente polinomial. Estou à procura de resultados que se mantenham mais geralmente. Pode ser que a conjectura polinomial de Hirsch seja falsa, mas outro algoritmo seja fortemente polinomial, ou que a conjectura polinomial de Hirsch seja verdadeira, mas o simplex seja exponencial porque não é possível encontrar um caminho curto no tempo polinomial.

— Ian

@Suresh: Na verdade, tenho certeza de que a estratégia de amostragem aleatória subexponencial + recursão mencionada (Clarkson-Matoušek-Sharir-Welzl / Kalai, certo?) É um algoritmo simplex duplo. (Mas isso não contradiz o seu argumento.) #

— 294 Jeff Jeff

Oh espere. Michael Goldwasser não descobriu isso há muito tempo em um artigo do SIGACT? Hmm. agora eu preciso ir e cavar.

— precisa