NP completude sobre reais

Estou estudando recentemente o modelo de computação BSS (por exemplo, Complexidade e Computação Real; Blum, Cucker, Shub, Smale).

Para os reais , é mostrado que, dado um sistema de polinômios f 1 , ⋯ , f m ∈ R [ x 1 , ⋯ , x n ] , a existência de zeros é N P R incompleta. No entanto, eu estou me perguntando, se esses f 's são polinômios apenas têm coeficientes inteiros, ou seja, f 1 , ⋯ , f m ∈ Z [ x 1 , ⋯ , x n$R$$f_1,\cdots, f_m\in R[x_1, \cdots, x_n]$$NP_R$$f$$f_1,\cdots, f_m\in Z[x_1, \cdots, x_n]$, ainda é o problema -hard? (isto é, obviamente, em N P R ).$NP_R$$NP_R$

Eu suspeito que sim, mas existe uma prova simples?

Penso que a resposta é não , assumindo (acredito que apresento uma prova abaixo, mas há muitas questões de definição potencialmente nítidas aqui que estou sendo cauteloso com minhas reivindicações).$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$

Prova de que a resposta é não assumir $\mathsf{P}_\mathbb{R} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$ : De fato, acredito que a seguinte declaração mais forte é válida:

Lema: Para qualquer problema de decisão BSS através de R , se G poli-tempo-BSS R reduz-se a um problema em entradas inteiros, então G ∈ P R .$L$$\mathbb{R}$$L$$_{\mathbb{R}}$$L \in \mathsf{P}_\mathbb{R}$

Prova de lema : Suponha que houvesse um BSS-tempo polinomial R redução de G para um problema em entradas inteiros, dada por uma máquina M . Para entradas que consistem em n parâmetros reais, desenrole o cálculo de M em uma árvore de computação algébrica. Existem apenas finitas folhas e o resultado em cada folha é uma única função racional nos parâmetros de entrada. Para que uma função racional das entradas reais sempre produza um valor inteiro, ela deve ser uma função constante e, portanto, não depender da entrada. No entanto, qual função constante é usada em cada folha pode, é claro, depender dos ramos. No entanto, como M é uma máquina uniforme, pode haver apenas O$_{\mathbb{R}}$$L$$M$$n$$M$$M$ nós de saída e, portanto, apenas O ( 1 ) valores de saída. Assim, M pode ser modificado trivialmente para de fato decidir L em tempo polinomial. QED$O(1)$$O(1)$$M$$L$

Agora, considere como real viabilidade de polinômios reais. Se P R ≠ N P R , então L ∉ P R e pelo Lemma não há redução de L para qualquer problema nas entradas inteiras (em particular, para a real viabilidade de polinômios inteiros ).$L$$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$L \notin \mathsf{P}_{\mathbb{R}}$$L$

Prometer problema? : Outro potencial problema com a sua pergunta é que a viabilidade real da inteiros polinômios não pode estar em , mas apenas em sua versão promessa. O problema aqui é que, para verificar se uma entrada (como o coeficiente de um polinômio f i ) é um número inteiro, leva um tempo que depende da magnitude de x , enquanto o conjunto de instâncias (todas as instâncias, não apenas instâncias sim) para um problema de decisão N P R deve ser decidido em P R , o último significa que leva tempo polinomial no número de parâmetros$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$f_i$$x$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{P}_\mathbb{R}$, e não suas magnitudes. Acredito que isso esteja intimamente relacionado ao fato de que os números inteiros não são definíveis de primeira ordem dentro dos reais. (Essencialmente, o melhor que uma máquina BSS R pode fazer para testar se uma entrada x é um número inteiro é calcular a parte inteira de x calculando potências de 2 e fazendo "pesquisa binária". Depois de computada a parte inteira de x , apenas verifica se que é igual a x .) Então eu acho que o probleam de viabilidade real da inteiros equações está em P r o m i s e N P R mas provavelmente não em N$_{\mathbb{R}}$$x$$x$$2$$x$$x$$\mathsf{PromiseNP}_{\mathbb{R}}$ (ou, pelo menos, parece não trivial para provar que é em N P R ).$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$