É sabido que a classificação de permutações por transposição está em , pois o número mínimo de transposições necessárias para classificar é exatamente . Essa noção de "número de inversão" também tem aplicações na combinatória algébrica, por exemplo, permite dotar uma estrutura de treliça, chamada permutoedro e baseada na fraca ordem de Bruhat. π ∈ S n i n v ( π ) = { ( i , j ) ∈ [ n ] × [ n ] : i < j e π ( i ) > π ( j ) } S n
Pode ser esclarecedor reformular o problema em termos da teoria dos grupos. Recebemos um grupo com o grupo gerador e um mapeamento , e outro grupo no qual age transitivamente, e queremos resolver o seguinte problema: dado , encontre um comprimento mínimo tal que . No caso de permutação, e é o conjunto de transposições.Γ i L : Γ * → L H G H ∈ H w ∈ Γ * i G ( w ) . h = 1 H G = H = S n Γ
Pergunta: existem outras instâncias deste problema que admitem algoritmos eficientes?