Prova de indecidibilidade, não por redução do problema da parada

A maneira usual de provar indecidibilidade é através da redução de um problema de RE completo, como o problema de parada, validade na lógica de primeira ordem, satisfação das equações diofantinas, etc.

Sabe-se que existem problemas recursivamente enumeráveis, mas indecidíveis, que não são RE-completos, mas essas são construções artificiais (ou seja, conjuntos que foram definidos apenas para mostrar esse resultado de "densidade").

Como lidar com a comprovação de indecidibilidade sem redução de um problema de RE-completo? Diagonalização?

Pode-se mostrar diretamente que a complexidade de Kolmogorov não é computável; veja, por exemplo, Sipser, 3ª edição, problema 6.23.

Considere o que eu gosto de chamar de problema de GUESSING CONSISTENTE.

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(É claro que isso não é exatamente uma linguagem, mas mais como um análogo de computabilidade de um problema de promessa.)

Agora, com uma modificação da prova original de Turing, é muito fácil mostrar que a SUGESTÃO CONSISTENTE é indecidível (deixarei isso como um exercício para você).

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Se o que você está procurando é uma prova que não seja a) redução de um problema completo conhecido, nem b) diagonalização direta (que seus vários comentários indicam que você é), então, tanto quanto eu sei, você está sem sorte. Todas as provas de que tenho conhecimento não são por redução - incluindo as de outras excelentes respostas dadas aqui por Aaronson e Kjos-Hanssen - procedem por uma diagonalização direta.

E todas essas diagonalizações são essencialmente a mesma prova . Algumas delas são pequenas variantes na prova que produzem declarações um pouco mais fortes / fracas, mas as próprias provas são tipicamente apenas variações muito pequenas. (E todas essas provas são essencialmente as mesmas que as originais de Cantor sobre as cardinalidades, que são as mesmas da incompletude de Godel e Chaitin, que são todas as versões apenas do teorema do paradoxo de Russell ... Tanto é que de uma só vez Perguntei-me se seria possível formalizar, de algum modo da matemática reversa, um teorema que dizia que havia essencialmente apenas uma dessas provas.)

Pode valer a pena ressaltar, no entanto, que existem provas de outras afirmações - tipicamente de sabor diferente - que são diagonalizações que são realmente, verdadeiramente, comprovadamente diferentes da diagonalização usada para provar, por exemplo, a indecidibilidade do problema de parada.