Houve alguma pesquisa sobre -SAT acima do limite de satisfação?

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Uma característica bem conhecida das instâncias -SAT é a razão do número de cláusulas sobre o número de variáveis , ou seja, o quociente . Para cada , existe um valor limite st \ para , a maioria das instâncias é satisfatória e para maioria das instâncias não é satisfatória. Tem havido uma série de pesquisas feitas para problemas onde , e por problemas com suficientemente pequeno , $k$ $m$ $n$ $\rho = m/n$ $k$ $\alpha$ $\rho \ll \alpha$ $\rho \gg \alpha$ $\rho \ll \alpha$ $\rho$ $k$ -SAT torna-se solucionável em tempo polinomial. Veja, por exemplo, o artigo de pesquisa de Dimitris Achlioptas do Handbook of Satisfiability ( PDF ).

Gostaria de saber se algum trabalho foi feito na outra direção (onde ), por exemplo, se podemos de alguma forma transformar o problema de CNF para DNF, neste caso, para resolvê-lo rapidamente. $\rho \gg \alpha$

Então, essencialmente, o que se sabe sobre SAT em que ? $\rho = m/n \gg \alpha$

— Matt Groff
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Vale a pena notar que

é uma função de

.

α

$\alpha$

k

$k$

— Huck Bennett

poderia haver alguma transformação que mostre algum tipo de simetria entre as duas regiões nos dois "lados" do ponto de transição? parece plausível. de qualquer forma, a questão é bastante amplo no sentido há muito empírica / estudo teórico do ponto de transição que não concentrar tanto em um "lado" ou o outro ...

— vzn

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Sim, houve. Moshe Vardi recentemente deu uma palestra de pesquisa no workshop BIRS Theoretical Foundations of Applied SAT Solving :

Moshe Vardi, Transições de fase e complexidade computacional , 2014.

(Moshe apresenta o gráfico do experimento um pouco depois do minuto 14:30 em sua palestra acima.)

Seja a razão da cláusula. À medida que o valor de aumenta além do limite, o problema se torna mais fácil para os solucionadores de SAT existentes, mas não tão fácil quanto era antes de atingir o limite. Há um aumento muito acentuado da dificuldade quando nos aproximamos do limiar a partir de baixo. Após o limiar, o problema se torna mais fácil comparado ao limiar, mas a diminuição da dificuldade é muito menos acentuada. $\rho$ $\rho$

Seja denotado a dificuldade do problema em relação a (no experimento é o tempo médio de execução do GRASP em instâncias aleatórias do 3SAT com a razão de cláusulas ). Moshe sugere que muda da seguinte forma: $T_\rho(n)$ $n$ $T_\rho(n)$ $\rho$ $T_\rho(n)$

o limiar: é polinomial em , $\rho \ll$ $T_\rho(n)$ $n$
está próximo do limiar: é exponencial em , $\rho$ $T_\rho(n)$ $n$
o limiar: permanece exponencial em mas o expoente diminui à medida que aumenta. $\rho \gg$ $T_\rho(n)$ $n$ $\rho$

— Kaveh
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1

Deve-se notar que os resultados acima são experimentais (a partir de 2000) usando um SAT-solver específico (GRASP). Mas, teoricamente, sabe-se que, para grandes valores

(digamos,

), até a resolução apresenta pequenas refutações de insatisfação. E, como Jan Johannsem escreveu antes, refutar o 3-SAT já é fácil (no caso médio) quando

ρ

$\rho$

Ω (n)

$\Omega(n)$

.

ρ = Ω (\sqrt{n})

$\rho=\Omega(\sqrt{n})$

— Idd Tzameret

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Existem pelo menos duas linhas de pesquisa relativas a aleatório para fórmulas com uma razão de cláusula / variável maior que o limite de satisfação: $k\text-\mathsf{SAT}$

Para tais fórmulas, foram apresentados limites mais baixos no comprimento das refutações na resolução e sistemas de prova proposicionais mais fortes, começando com o artigo " Muitos exemplos concretos de resolução " de Chvátal e Szemerédi. Esses limites inferiores da resolução implicam limites inferiores no tempo de execução dos solucionadores SAT baseados em DPLL e CDCL. Os limites inferiores mais fortes são para o cálculo polinomial, devido a Ben-Sasson e Impagliazzo .
Para essas fórmulas, existem algoritmos determinísticos eficientes para certificar a insatisfação, ou seja, algoritmos que emitem "UNSAT" ou "Não sei", onde a resposta "UNSAT" é necessária para estar correta e deve gerar "UNSAT" em fórmulas insatisfatórias com alta probabilidade. Os resultados mais fortes nessa direção se devem a Feige e Ofek .

— Jan Johannsen
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Talvez valha a pena notar que Chvátal / Szemerédi mostra que whp uma fórmula

-SAT aleatória com

é insatisfatória. Feige e Ofek dar um algoritmo espectral quando

. Portanto, resta um

k

$k$

m / n \geq c_{1}

$m/n \ge c_1$

m / n \geq c_{2} n^{1 / 2}

$m/n \ge c_2n^{1/2}$

lacuna entre

e

, onde quase todas as fórmula é insatisfatível, mas não sabemos como decidir que isto é assim.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

c_{1} n

$c_1n$

c_{2} n^{3 / 2}

$c_2n^{3/2}$

— András Salamon

2

Aqui está um estudo / ângulo mais antigo, mas relevante, de um especialista líder.

A borda da faca de constrangimento Walsh 1998

ele mostra o parâmetro estima o número de soluções e mede a "restrição" e correlaciona / tendências aproximadamente com a razão de cláusula para variável. veja p3 fig 4 em particular $\kappa$

Na figura 4, plotamos a restrição estimada no ramo heurístico para problemas aleatórios de 3-SAT. Para L / N <4,3, os problemas são sub-restritos e solúveis. À medida que a pesquisa avança, diminui à medida que os problemas se tornam mais restritos e obviamente solúveis. Para L / N> 4.3, os problemas são excessivamente restritos e insolúveis. À medida que a pesquisa avança, aumenta à medida que os problemas se tornam mais restritos e obviamente insolúveis. $\kappa$ $\kappa$

a pergunta pergunta sobre . mas, a partir da análise empírica, isso é altamente confinado e, portanto, basicamente se aproxima de instâncias do tempo P (um solucionador "descobre" rapidamente que são insolúveis)) e, portanto, não é tão teórico quanto interessante (porque não "eliciam / exercitam" o tempo exponencial comportamento dos solucionadores em média). no entanto, pessoalmente, não vi trabalhos / transformações / teorias que provam isso mais teoricamente / rigorosamente (além deste artigo como um começo disso). $m/n \gg\alpha$

— vzn
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por outro lado, é presumivelmente possível gerar instâncias "rígidas" individuais de qualquer m / n "dimensão", é apenas que elas são menos prováveis estatisticamente fora da transição de fase "P-NP-P".

— vzn