Lacunas prováveis entre a complexidade da árvore de decisão e a complexidade "verdadeira"

O título é um pouco enganador: mas espero que a pergunta não seja:

O novo resultado de Grønlund e Pettie, mostrando que o 3SUM tem apenas complexidade da árvore de decisão, me fez pensar: $O(n^{3/2})$

Existe um exemplo simples de um problema com uma complexidade da árvore de decisão de mas que admite um limite inferior (em um modelo mais detalhado) de ? $O(f)$ $\omega(f)$

Em outras palavras, como o resultado no 3SUM deve mudar nossa visão da possibilidade de obter um limite superior significativamente inferior a à complexidade do problema? $n^2$

cc.complexity-theory machine-models decision-trees

— Suresh Venkat
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Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

O modelo da árvore de decisão é um modelo teórico da informação: Depois de aprender informações suficientes sobre sua entrada para que a resposta seja determinada exclusivamente a partir dessa informação, você estará pronto. Não importa se determinar a resposta dessas informações é indecidível. Portanto, por exemplo, se a entrada for uma string binária de n bits que codifica uma máquina de Turing, e a questão é se essa TM é interrompida, uma árvore de decisão de profundidade n pode resolver trivialmente esse problema, pois conhece todos os n bits, mas nenhum algoritmo pode resolver este problema.

— Robin Kothari 12/04

Talvez eu devesse ter dito 'exemplo de um problema simples' :).

— Suresh Venkat

Respostas:

Meyer auf der Heide descreveu uma família não uniforme de árvores de decisão lineares para o Subconjunto Sum com profundidade . Um resultado semelhante pode ser obtido de um algoritmo posterior do Meiser para a localização do ponto em arranjos de hiperplano. Obviamente, o problema é difícil para o NP. $O(n^4\log n)$

— Jeffε
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Se eu quisesse ser realmente pedântico, gostaria de salientar que ser NP-difícil não é um limite inferior firme. mas esse é um bom exemplo do espírito do que estou procurando.

— Suresh Venkat

Sim, mas não sabemos como provar limites mais baixos firmes.

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E Talvez você conheça uma boa redação ou exposição desse resultado? Acho muito difícil seguir o original, algumas definições não são claras para mim.

— Domotorp

Pelo menos as definições básicas são descritas em meu artigo sobre problemas de degeneração linear .

— Jeffε

$O(n\log(\frac{m+n}{n}))$ $\Theta(n+m)$ $m=\omega(n)$

— Seth Pettie
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Deixe-me discordar um pouco. No modelo de RAM, não precisamos necessariamente ler toda a entrada. No modelo de máquina de Turing, existem muitos problemas triviais que podem ser resolvidos mais rapidamente com uma árvore de decisão (ou em uma máquina de RAM). Veja também o comentário de Robin à pergunta original.

— Domotorp 15/04

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