O teorema de Kannan implica que NEXPTIME ^ NP ⊄ P / poly?

Eu estava lendo um artigo de Buhrman e Homer "Circuitos superpolinomiais , oráculos quase esparsos e a hierarquia exponencial" .

Na parte inferior da página 2 eles observação de que os resultados de Kannan implica que $NEXPTIME^{NP}$ não têm circuitos de tamanho polinomiais. Sei que na hierarquia do tempo exponencial, $NEXPTIME^{NP}$ é apenas $\Sigma_2EXP$ , e que também sabe que resultado do Kannan é que $\forall c\mbox{ }\exists L\in\Sigma_2P$ de modo a que $L \not\in Size(n^c)$ $\Sigma_2P \not\subset P/poly$ $\exists L\in\Sigma_2P$ $\forall c$ $L \not\in Size(n^c)$ $NEXPTIME^{NP} \not\subset P/poly$

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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Talvez isso seja mais apropriado para cstheory.se.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Ok, obrigado. Se um moderador achar que é mais apropriado para cstheory.se, fique à vontade para movê-lo.

Atualmente, isso também está relacionado ao conjunto de problemas do cs354 ...: - / ... Eu instruí explicitamente os alunos a não pedirem na Internet; portanto, "Lorena" espero que eles não estejam participando da minha aula.

— Ryan Williams

@ Sasho, acho que seria bom fazê-lo, pelo menos até depois da data de vencimento da tarefa.

— Kaveh

@ Turbo, acho que sim, espero que isso não seja o problema de outra pessoa definido no momento.

— Sasho Nikolov

Esta versão da resposta incorpora feedback de Emil Jeřábek.

Até onde posso ver, a principal reviravolta é que existe uma linguagem em de complexidade exponencial do circuito. Em particular, corrija uma codificação binária de circuitos booleanos e defina como o idioma definido por $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L$

$L_n$ não é decidido por nenhum circuito de tamanho , e $2^{n/2}$

qualquer idioma que precede lexicograficamente é decidido por algum circuito de tamanho no máximo , $L'_n \subseteq \{0,1\}^n$ $L_n$ $C$ $2^{n/2}$

onde a notação significa a fatia . $L_n$ $L_n = L \cap \{0,1\}^n$

Para fazer isso em tempo exponencial com um , você pode usar a pesquisa binária sobre subconjuntos de (pense neles como números inteiros de ) para encontrar o primeiro um conjunto com complexidade de circuito . Você apenas mantém o palpite atual de e usa o oracle para testar se existe um da complexidade do circuito pelo menos . Uma vez que este dá uma máquina em que escreve para baixo toda a fatia , claramente podemos também decidir filiação , e, portanto, em . $\Sigma_2^\mathsf{P}$ $\{0,1\}^n$ $2^n$ $> 2^{n/2}$ $L_n$ $L'_n \prec_{\text{lex}} L_n$ $2^{n/2}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L_n$ $L_n$ $L$

Isso é muito parecido com o argumento de Kannan, mas ampliado e simplificado para usar o tempo exponencial. Então você deve poder usar uma versão em escala do teorema de Karp-Lipton para mostrar que se , então , e você pode executar a análise de caso na prova de Kannan. $\mathsf{NEXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2} \subseteq \mathsf{NEXP}^{\mathsf{NP}}$

— Sasho Nikolov
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AFAICS sua descrição fornece diretamente um idioma , em vez de .

{E X P}^{Σ_{2}^{P}}

$\mathrm{EXP}^{\Sigma^P_2}$

{N E X P}^{Σ_{3}^{P}}

$\mathrm{NEXP}^{\Sigma^P_3}$

— Emil Jeřábek 3.0

@ EmilJeřábek Meu cérebro nunca foi capaz de processar máquinas oracle. A profundidade quatro do quantificador: está em se existe um circuito de tamanho tal que e [para todos os circuitos de tamanho existe uma palavra para a qual ] e [para todos os que precedem na ordem lex existe um circuito de tamanho no máximo st para todos os

w \in {0, 1}^{n}

$w \in \{0,1\}^n$

L

$L$

C^{*}

$C^*$

\leq 2^{n}

$\le 2^n$

C^{*} (w) = 1

$C^*(w) = 1$

C

$C$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C (w^{'}) \neq C (w)

$C(w') \neq C(w)$

C^{'}

$C'$

C^{*}

$C^*$

C^{″}

$C''$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C^{'} (w^{'}) = C^{″} (w^{'})

$C'(w') = C''(w')$ ] Este parece ser o quarto nível da hierarquia exponencial. O que há na notação oracle?

— Sasho Nikolov

Primeiro, "existe uma palavra ..." e o quantificador universal semelhante próximo ao final não conta como são de tamanho linear; portanto, eles podem ser computados deterministicamente em tempo exponencial. Segundo, o quantificador mais externo pode ser simulado deterministicamente em tempo exponencial usando pesquisa binária.

— Emil Jeřábek 3.0

Ou seja, a primeira função booleana lexicograficamente em entradas que não possui circuitos de tamanho pode ser encontrada por pesquisa binária em tempo exponencial com oracle para o predicado "existe uma função lexicograficamente precedente isso não é computável por um circuito de tamanho ".

f

$f$

n

$n$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

f^{'}

$f'$

f

$f$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— Emil Jeřábek 3.0

@SashoNikolov Portanto, ainda funciona desde . No entanto, não podemos usar se seguida, aplicar Karp-Lipton em cstheory.stackexchange.com/questions/39837/… . Portanto, temos e . Isso não funciona para .

E X P^{Σ_{2}^{P}} \subseteq N E X P^{Σ_{3}^{P}}

$EXP^{\Sigma_2^P}\subseteq NEXP^{\Sigma_3^P}$

N E X P \subseteq i . o . P / p o l y

$NEXP\subseteq i.o.P/poly$

E X P^{P P} ⊈ i . o . P / p o l y

$EXP^{PP}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{Σ_{3}^{P}} ⊈ i . o . P / p o l y

$NEXP^{\Sigma_3^P}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{N P}

$NEXP^{NP}$

— T ....