Estratégias hierárquicas de classificação para permutações para evitar padrões?

Para uma classe de permutações, não podemos esperar classificar as permutações de com comparações menores que , onde por convenção .$\mathcal{C}$ O ( log | C n | ) C n : = C ∩ S $\mathcal{C}$$O(\log |\mathcal{C}_n|)$$\mathcal{C}_n := \mathcal{C} \cap S_n$

Em particular, quando é fechado por subpadrões, segue-se o teorema de Marcus-Tardos (refinado por J. Fox) que onde é a constante de Stanley-Wilf de . Isso leva à seguinte pergunta: é possível classificar essa classe usando no máximo comparações ? Esta questão é um fortalecimento da questão 1 no artigo ' Permutações de classificação rápida e que evitam padrões ' de D. Arthur.| C n | ≤ C n$\mathcal{C}$$|\mathcal{C}_n| \leq C^n$$C$ O ( N log C $\mathcal{C}$$O(n \log C)$

Parece possível representar essa estratégia de classificação por uma árvore binária que imitaria essencialmente um algoritmo de classificação de mesclagem 'desequilibrado'. Aqui está a idéia: dada uma permutação , procuraríamos uma árvore T π rotulada pelos pontos de π , de modo que, para cada nó u de T π, a 'sobreposição' entre as duas subárvores filhas fosse O ( log C ) (na pior das hipóteses ou em média). No entanto, suspeito que seja necessária uma estrutura mais envolvida para resolver esse problema; deveria admitir uma solução positiva.$\pi$$T_{\pi}$$\pi$$u$$T_{\pi}$$O(\log C)$

Outra abordagem é a codificação enumerativa. Considere, por exemplo, evitar permutações, das quais existem C n . O número de 231 -avoiding permutações com π - 1 ( n ) = i é C i - 1 C n - i , e isto dá um algoritmo recursivo para codificar 231 permutações -avoiding: dividir o intervalo de [ 0 , C n ) para n intervalos I 1 , … $231$$C_n$$231$$\pi^{-1}(n) = i$$C_{i-1} C_{n-i}$$231$$[0,C_n)$$n$ dos comprimentos C i C n - i - 1 para i = 1 , … , n arbitrariamente. Dada uma permutação com π - 1 ( n ) = i , observe que π | 1 , … , i - 1 é umapermutação 231 que evita { 1 , … , i - 1 } e π | $I_1,\ldots,I_n$$C_i C_{n-i-1}$$i=1,\ldots,n$$\pi^{-1}(n) = i$$\pi|_{1,\ldots,i-1}$$231$$\{1,\ldots,i-1\}$ é umapermutação231 queevita{i+1,…,n}. Recursivamente codificam a primeira parte em[0, C i - 1 )e a segunda parte em[0, C n - i ), e colocou as duas codificações em conjunto para codificarπem eu i .$\pi|_{i+1,\ldots,n}$$231$$\{i+1,\ldots,n\}$$[0,C_{i-1})$$[0,C_{n-i})$$\pi$$I_i$

Para qualquer outro , as permutações que evitam τ são bijetivamente relacionadas às permutações que evitam 231 , tomando a inversa, complementando os elementos, revertendo ou a bijeção de Simion-Schmidt entre 132 - e 123 - evitando permutações. Portanto, essa codificação se aplica a todos os padrões de comprimento 3 .$\tau \in S_3$$\tau$$231$$132$$123$$3$