Distinguir entre duas moedas

É bem sabido que a complexidade de distinguir um moeda inclinado a partir de uma feira um é . Existem resultados para distinguir uma moeda uma moeda ? Eu posso ver que, para o caso especial de , a complexidade será . Tenho um palpite de que a complexidade dependerá de se é da ordem de , mas não pode ser tão rigorosa. Alguma dica / referência? $\epsilon$ $\theta(\epsilon^{-2})$ $p$ $p+\epsilon$ $p=0$ $\epsilon^{-1}$ $p$ $\epsilon$

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— elexhobby
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Eu sugiro que você use a estrutura encontrada no seguinte documento:

Até onde podemos ir além da criptoanálise linear? , Thomas Baignères, Pascal Junod, Serge Vaudenay, ASIACRYPT 2004.

O resultado crucial diz que você precisa de , onde $n \sim 1/D(D_0 \,||\, D_1)$ é a distância Kullback-Leibler entre as duas distribuições e . Expandindo a definição da distância KL, vemos que no seu caso $D(D_0 \,||\, D_1)$ $D_0$ $D_1$

D (D_{0} | | D_{1}) = p \log \frac{p}{p + ϵ} + (1 - p) \log \frac{1 - p}{1 - p - ϵ},

$D(D_0 \,||\, D_1) = p \log \frac{p}{p+\epsilon} + (1-p) \log \frac{1-p}{1-p-\epsilon},$

com a convenção de que . $0 \log \frac0p = 0$

Quando , encontramos $p \gg \epsilon$ . Assim, quando , achamos que você precisa de moedas. Quando , encontramos $D(D_0 \,||\, D_1) \approx \epsilon^2/(p(1-p))$ $p \gg \epsilon$ $n \sim p(1-p)/\epsilon^2$ $p = 0$ , então você precisa de moedas. Portanto, essa fórmula é consistente com os casos especiais que você já conhece ... mas generaliza para todos os . $D(D_0 \,||\, D_1) = -\log(1-\epsilon) \approx \epsilon$ $n \sim 1/\epsilon$ $n,\epsilon$

Para justificativa, consulte o documento.

Quando , a justificativa é fácil de trabalhar manualmente. Com observações, o número de cabeças é ou , portanto, você deseja encontrar o menor modo que essas duas distribuições possam ser distinguidas. $p \gg \epsilon$ $n$ $\text{Binomial}(n,p)$ $\text{Binomial}(n,p+\epsilon)$ $n$

Você pode aproximar os dois por um gaussiano com a média e variância corretas e, em seguida, usar resultados padrão na dificuldade de distinguir dois gaussianos, e a resposta deve cair. A aproximação é boa se ou menos. $p \ge 5/n$

$\mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)$ $\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ $\mu_0 = pn$ $\mu_1 = p+\epsilon)n$ $\sigma_0^2 = p(1-p)n$ $\sigma_1^2 = (p+\epsilon)(1-p-\epsilon)n$ $\text{erfc}(z)$ $z = (\mu_1-\mu_0)/(\sigma_0+\sigma_1) \approx \epsilon \sqrt{n / 2p(1-p)}$ $z \sim 1$ $n \sim 2p(1-p)/\epsilon^2$ $p \gg \epsilon$

Para o caso geral ... veja o jornal.

— DW
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