Aproximando problemas # P-hard

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Considere o problema clássico # P-complete # 3SAT, ou seja, contar o número de avaliações para tornar um 3CNF com variáveis satisfatórias. Estou interessado na aproximação aditiva . Claramente, existe um algoritmo trivial para atingir o erro , mas se , é possível ter um algoritmo de aproximação eficiente, ou esse problema também é # P-difícil? $n$ $2^{n-1}$ $k<2^{n-1}$

— user0928
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Se

, existe um algoritmo de politempo com erro aditivo

. Se

, haveria um algoritmo aleatório poli-tempo com erro aditivo

. Quando

é significativamente menor (mas não polinomialmente pequeno), eu esperaria que fosse NP-hard, mas não # P-hard, pois a dureza #P geralmente depende de ser uma computação exata.

k = 2^{n - 1} - p o l y (n)

$k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

k

$k$

k = 2^{n} / p o l y (n)

$k=2^{n}/\mathrm{poly}(n)$

k

$k$

k

$k$

— Thomas

Você poderia fornecer referência para as duas primeiras reivindicações? Desculpe, eu sou um novato ...

— user0928

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Estamos interessados em aproximações aditivas ao # 3SAT. ou seja, dado um 3CNF em variáveis, conte o número de atribuições satisfatórias (chame ) de até o erro aditivo . $\phi$ $n$ $a$ $k$

Aqui estão alguns resultados básicos para isso:

Caso 1: $k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

Aqui existe um algoritmo determinístico de politempo: Seja . Agora avalie em entradas arbitrárias (por exemplo, as primeiras lexicograficamente ). Suponha desses insumos satisfazer . Então, sabemos pois há pelo menos tarefas satisfatórias e $m=2^n-2k = \mathrm{poly}(n)$ $\phi$ $m$ $m$ $\ell$ $\phi$ $a \geq \ell$ $\ell$ $a \leq 2^n - (m-\ell)$ como existem pelo menos tarefas insatisfatórias. A duração deste intervalo é . Portanto, se emitirmos o ponto médio isso está dentro de da resposta correta, conforme necessário. $m-\ell$ $2^n - (m-\ell) - \ell = 2k$ $2^{n-1} -m/2 + \ell$ $k$

Caso 2: $k=2^n/\mathrm{poly}(n)$

Aqui temos um algoritmo aleatório de politempo: Avalie em pontos aleatórios . Seja $\phi$ $m$ $X_1, \cdots, X_m \in \{0,1\}^n$ e. Nós produzimos. Para que isso tenha erro no máximo, precisamos deque é equivalente a $\alpha = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \phi(X_i)$ $\varepsilon = k/2^n$ $2^n \cdot \alpha$ $k$

k \geq | 2^{n} α - a | = 2^{n} | α - a / 2^{n} |,

$k \geq |2^n \alpha - a| = 2^n |\alpha - a/2^n|,$

Por umlimite de Chernoff,

como

. Isso implica que, se escolhermos

| α - a / 2^{n} | \leq ε .

$|\alpha - a/2^n| \leq \varepsilon.$

P [| α - a / 2^{n} | > ε] \leq 2^{- Ω (m ε^{2})},

$\mathbb{P}[|\alpha - a/2^n| > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(m \varepsilon^2)},$

E [ϕ (X_{i})] = E [α] = a / 2^{n}

$\mathbb{E}[\phi(X_i)]=\mathbb{E}[\alpha]=a/2^n$

(e garanta que

é uma potência de

); então, com probabilidade de pelo menos

, o erro é no máximo

.

m = O (1 / ε^{2}) = p o l y (n)

$m=O(1/\varepsilon^2) = \mathrm{poly}(n)$

m

$m$

2

$2$

0.99

$0.99$

k

$k$

Caso 3: para $k=2^{cn + o(n)}$ $c < 1$

$\psi$ $m$ $n \geq m$ $k < 2^{n-m-1}$ $n = O(m/(1-c))$ $\phi=\psi$ $\phi$ $n$ $m$ $\psi$ $b$ $\phi$ $b \cdot 2^{n-m}$ $n-m$ $\hat{a}$ $|\hat{a}-a| \leq k$ $\hat{a}$ $\phi$ $k$

| b - \hat{a} / 2^{n - m} | = | \frac{a - \hat{a}}{2^{n - m}} | \leq \frac{k}{2^{n - m}} < 1 / 2.

$|b-\hat{a}/2^{n-m}| = \left| \frac{a - \hat{a}}{2^{n-m}}\right| \leq \frac{k}{2^{n-m}} < 1/2.$

b

$b$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

— Thomas
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Aqui está uma referência a Bordewich, Freedman, Lovász e Welsh que desenvolve esse tópico até certo ponto.

— Martin Schwarz
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