Complexidade da árvore de decisão aleatória entre Las Vegas e Monte Carlo

Fundo:

A complexidade da árvore de decisão ou a complexidade da consulta é um modelo simples de computação definido da seguinte maneira. Seja uma função booleana. A complexidade da consulta determinística de f , denotada D ( f ) , é o número mínimo de bits da entrada x ∈ { 0 , 1 } n que precisam ser lidos (na pior das hipóteses) por um algoritmo determinístico que calcula f ( x $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$$f$$D(f)$$x\in\{0,1\}^n$$f(x)$. Observe que a medida de complexidade é o número de bits da entrada que são lidos; todos os outros cálculos são gratuitos.

Da mesma forma, definimos a complexidade da consulta aleatória de Las Vegas de , denominada R 0 ( f ) , como o número mínimo de bits de entrada que precisam ser lidos na expectativa por um algoritmo aleatório de erro zero que calcula f ( x ) . Um algoritmo de erro zero sempre gera a resposta correta, mas o número de bits de entrada lidos por ele depende da aleatoriedade interna do algoritmo. (É por isso que medimos o número esperado de bits de entrada lidos.)$f$$R_0(f)$$f(x)$

Nós definimos a Monte Carlo randomizados consulta complexidade da , denotado R 2 ( f ) , para ser o número mínimo de bits de entrada que precisam ser lidos por um erro delimitada randomizado algoritmo que computa f ( x ) . Um algoritmo de erro delimitada sempre envia uma resposta no final, mas ele só precisa ser correto com maior probabilidade do que 2 / 3 (digamos).$f$$R_2(f)$$f(x)$$2/3$

Questão

O que se sabe sobre a questão de saber se

?$R_0(f) = \Theta(R_2(f))$

Sabe-se que

$R_0(f) = \Omega(R_2(f))$

porque os algoritmos de Monte Carlo são pelo menos tão poderosos quanto os algoritmos de Las Vegas.

Eu aprendi recentemente que não há separação conhecida entre as duas complexidades. A referência mais recente que posso encontrar para esta reivindicação é de 1998 [1]:

[1] Nikolai K. Vereshchagin, árvores de decisão booleanas randomizadas: várias observações, Theoretical Computer Science, volume 207, edição 2, 6 de novembro de 1998, páginas 329-342, ISSN 0304-3975, http://dx.doi.org/ 10.1016 / S0304-3975 (98) 00071-1 .

O limite superior mais conhecido de um em termos de outro é

$R_0(f) = O(R_2(f)^2 \log{R_2(f)})$

devido a [2]:

[2] Kulkarni, R. e Tal, A. (2013, novembro). Na sensibilidade do bloco fracionário. In Electronic Colloquium on Computational Complexity (ECCC) (Vol. 20, p. 168).

Eu tenho duas perguntas específicas.

1. [Pedido de referência]: Existe um artigo mais recente (após 1998) que discute esse problema?
2. Mais importante , existe uma função candidata conjecturada para separar essas duas complexidades?

Adicionado na v2: Adicionado ref [2], enfatizou a segunda pergunta sobre a existência da função candidata.

Até onde eu sei, isso ainda está aberto. Um artigo muito recente que menciona essas quantidades e alguns limites é Aaronson et al: Paridade fraca (ver http://arxiv.org/abs/1312.0036 ). Você também pode ver o capítulo 14 de Jukna: Funções booleanas e a pesquisa de 1999 (ainda bate 1998!) De Buhrman e de Wolf. Outro artigo muito recente sobre a complexidade da árvore de decisão aleatória é Magniez et al: http://arxiv.org/abs/1309.7565

Finalmente, um breve resumo que fiz para mim no mês passado (sem defs):

R2 <= R0 <= D <= n

D <= N0 * N1 <= C ^ 2 <= R0 ^ 2

s <= bs <= C <= s * bs <= bs ^ 2 (novo: [Gilmer-Saks-Srinivasan]: existe f st bs ^ 2 (f) = O (C (f)))

D <= N1 * bs <= bs ^ 3 <= (3R2) ^ 3

deg <= D <= bs * deg <= deg ^ 3 (novo: [Tal]: bs <= deg ^ 2)

D <= N1 * deg

C <= bs * deg ^ 2 <= deg ^ 4

A conjectura de sensibilidade é que s também é polinomialmente relacionado a outros parâmetros.

Esta questão foi resolvida!

$f$

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_2(f)^{2})$

e até mesmo

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_1(f)^{2})$

$R_1(f)$

Ambas as separações são ideais até os fatores de log!