Solicitação de referência: Minimização submodular e funções booleanas monótonas

Antecedentes: No aprendizado de máquina, geralmente trabalhamos com modelos gráficos para representar funções de densidade de probabilidade dimensional alta. Se descartamos a restrição de que uma densidade se integra (soma) a 1, obtemos uma função de energia estruturada em gráfico não normalizada .

Suponha que tenhamos uma função energética, , definida em um gráfico . Há uma variável para cada vértice do gráfico e há funções unárias e em pares com valor real, e , respectivamente. A energia total é então$E$$G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})$$x$$\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}$$\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E}$

$$E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, x_j)$$

Se todos os são binários, podemos pensar em um como indicando associação ao conjunto e, com apenas um pequeno abuso de terminologia, fale sobre submodularidade. Nesse caso, uma função de energia é submodular se . Normalmente, estamos interessados ​​em encontrar a configuração que minimize a energia, .$x \in \mathbf{x}$$x$$\theta_{ij}(0, 0) + \theta_{ij}(1, 1) \le \theta_{ij}(0, 1) + \theta_{ij}(1, 0)$$\mathbf{x}^* = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

Parece haver uma conexão entre minimizar uma função de energia submodular e funções booleanas monótonas: se abaixarmos a energia de alguns \ theta_i (x_i = 1)$\theta_i(x_i=1)$ para qualquer $x_i$ (ou seja, aumentar sua preferência para ser "verdadeiro"), então o ideal a atribuição de qualquer variável $x_i^* \in \mathbf{x}^*$ só pode mudar de 0 para 1 ("false" para "true"). Se todos os $\theta_i$ estiverem restritos a 0 ou 1, teremos $|\mathcal{V}|$funções booleanas monótonas:

$$f_i(\mathbf{\theta}) = x_i^*$$

onde, como acima, $\mathbf{x^*} = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$ .

Pergunta: Podemos representar todas as funções booleanas monótonas usando essa configuração variando os termos em pares, ? E se permitirmos que seja uma função de energia submodular arbitrária? Por outro lado, podemos representar todos os problemas de minimização submodular como um conjunto defunções booleanas monótonas?$\theta_{ij}$$E$$|\mathcal{V}|$

Você pode sugerir referências que me ajudarão a entender melhor essas conexões? Não sou um cientista da computação teórico, mas estou tentando entender se há informações sobre funções booleanas monótonas que não são capturadas ao pensar nos termos de minimização submodular.

Pelo que entendi, o caso de minimização submodular captura tudo o que se pode dizer sobre o caso booleano monótono, e as funções booleanas submodulares binárias podem expressar todas as funções booleanas submodulares. No entanto, se o domínio não for booleano, as funções submodulares binárias não serão suficientes para expressar todas as funções submodulares, mesmo que variáveis ​​ocultas possam ser introduzidas. (Peço desculpas se eu perdi uma sutileza na formulação precisa do seu problema.)

O estado da arte é discutido neste belo artigo, que possui muitos links para trabalhos relacionados, e isso também torna os links para a visão computacional bastante explícitos:

• Stanislav Živný, David A. Cohen, Peter G. Jeavons, O poder expressivo das funções submodulares binárias , DAM 157 3347–3358, 2009. doi: 10.1016 / j.dam.2009.07.001 ( pré-impressão )

Caso sua próxima pergunta seja sobre aproximação, este artigo recente analisa a versão de aproximação:

• Dorit S. Hochbaum, problemas submodulares - aproximações e algoritmos , arXiv: 1010.1945

Editar: link fixo.