Chernoff com destino a somas ponderadas


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Considere , onde lambda_i> 0 e Y_i é distribuído como um padrão normal. Que tipo de limites de concentração se pode provar em X, em função dos coeficientes (fixos) lambda_i?X=EuλEuYEu2

Se todos os lambda_i forem iguais, então este é um limite de Chernoff. O único outro resultado que conheço é um lema de um artigo de Arora e Kannan ("Aprendendo misturas de gaussianos arbitrários", STOC'01, Lema 13), que prova a concentração da forma , ou seja, o limite depende da soma dos quadrados dos coeficientes.Prob(X<E[X]-t)<exp(-t2/(4EuλEu2)

A prova de seu lema é análoga à prova usual do limite de Chernoff. Existem outros limites "canônicos" ou uma teoria geral cujas funções dos lambda_i são tais que sua grandeza assegura uma boa concentração exponencial (aqui, a função era simplesmente a soma dos quadrados)? Talvez alguma medida geral de entropia?

Uma referência mais padrão para o lema de Arora-Kannan também seria ótima, se existir.


Até onde você conseguiu reproduzir o vínculo deles? Essa instância específica do método exponencial mgf parece exigir alguns limites inteligentes e análise de caso.
Thomas Ahle

Respostas:


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O livro de Dubhashi e Panconesi reúne muitos desses limites, mais numerosos do que os listados aqui. Se você acha difícil acessar imediatamente, há uma pesquisa on - line de limites de Chernoff, feita por Chung e Lu


Obrigado, isso parece muito bom. Em particular, o Teorema 3.5 da pesquisa de Chung e Lu parece idêntico ao lema de Arora-Kannan que eu estava afirmando. Tendo a soma do lambda_i ^ 2 aparecem é natural, uma vez que é simplesmente a variância de X.
Thomas

O link Chung e Lu está morto. No entanto, o Internet Archive possui: web.archive.org/web/20070714095538/http://… . O título é "Desigualdades de concentração e desigualdades de Martingale: uma pesquisa" e os autores são Fan Chung e Linyuan Lu.
jbapple
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