Aqui está uma observação direta. Se você assumir , é bem fácil perceber que existem problemas de otimização de N P que nem sequer têm bons algoritmos de aproximação não determinísticos , em algum sentido.NP≠coNPNP
Por exemplo, o teorema do PCP diz que você pode traduzir SAT no problema de distinguir se das cláusulas são satisfeitas e todas as cláusulas são satisfeitas, para alguns ε > 0 . Suponha que exista um algoritmo não determinístico que possa distinguir entre esses dois casos, no sentido de que o algoritmo não determinístico pode relatar em cada caminho de computação "todos satisfeitos" ou "no máximo 1 - ε ", e diz "no máximo 1 - ε" "em algum caminho, se no máximo 1 - ε1−εε>01−ε1−ε1−εpode ser satisfeito, caso contrário, diz "todos satisfeitos" em todos os caminhos de computação se todas as equações puderem ser satisfeitas. Isto é suficiente para decidir sab em , de modo N P = C O N P . Parece claro que a existência de um tal algoritmo não-determinístico não tem nenhuma influência sobre se P = N P .coNPNP=coNPP=NP
É bastante plausível que existe um cenário mais "natural": um problema de otimização que é difícil aproximar em determinístico de tempo polinomial sob , mas não conhecido por ser duro sob P ≠ N P . (Provavelmente, é isso que você realmente deseja perguntar.) Muitos resultados de dureza de aproximação são comprovados primeiro sob uma premissa mais forte (por exemplo, N P não em tempo subexponencial ou N P não em B P P ). Em alguns casos, melhorias posteriores enfraquecem a suposição necessária, às vezes até P ≠ NNP≠coNPP≠NPNPNPBPP . Portanto, há esperança de que haja uma resposta um pouco mais satisfatória do que esta. É difícil imaginar como poderia haver um problema quenão podeser provado difícil aproximado em polytime determinista sob P ≠ N P , maspodeser provado duro sob N P ≠ c o N P . Isso significaria que N P ≠ c o N P nos diz algo sobre cálculos determinísticos que P ≠ N P ainda não diz; intuitivamente, isso é difícil de entender.P≠NPP≠NPNP≠coNPNP≠coNPP≠NP