Dureza de aproximação assumindo NP! = CoNP


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Duas das suposições comuns para provar resultados de dureza de aproximação são e Unique Games Conjecture. Existe alguma dureza de resultados de aproximação assumindo ? Estou procurando o problema modo que "é difícil aproximar um fator menos que ".PNPNPcoNPAAαNP=coNP

Sabe-se que "mostrar dureza NP do fator para o menor problema vetorial implicaria ". Observe que este é o "oposto" do que estou procurando.nNP=coNP

Esclarecimento: É possível que e ainda a questão P vs NP esteja aberta. Estou procurando resultados de dureza de aproximação que se tornarão falsos se mas não for afetado (isto é, ainda permanece como uma conjectura) por .NP=coNPNP=coNPPNP


@ Kintali, o resultado do SVP é interessante. Você conhece outros exemplos semelhantes ao menor resultado do problema vetorial?
Mohammad Al-Turkistany

Não estou ciente de mais resultados desse tipo.
Shiva Kintali 21/10/10

Respostas:


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Aqui está uma observação direta. Se você assumir , é bem fácil perceber que existem problemas de otimização de N P que nem sequer têm bons algoritmos de aproximação não determinísticos , em algum sentido.NPcoNPNP

Por exemplo, o teorema do PCP diz que você pode traduzir SAT no problema de distinguir se das cláusulas são satisfeitas e todas as cláusulas são satisfeitas, para alguns ε > 0 . Suponha que exista um algoritmo não determinístico que possa distinguir entre esses dois casos, no sentido de que o algoritmo não determinístico pode relatar em cada caminho de computação "todos satisfeitos" ou "no máximo 1 - ε ", e diz "no máximo 1 - ε" "em algum caminho, se no máximo 1 - ε1εε>01ε1ε1εpode ser satisfeito, caso contrário, diz "todos satisfeitos" em todos os caminhos de computação se todas as equações puderem ser satisfeitas. Isto é suficiente para decidir sab em , de modo N P = C O N P . Parece claro que a existência de um tal algoritmo não-determinístico não tem nenhuma influência sobre se P = N P .coNPNP=coNPP=NP

É bastante plausível que existe um cenário mais "natural": um problema de otimização que é difícil aproximar em determinístico de tempo polinomial sob , mas não conhecido por ser duro sob P N P . (Provavelmente, é isso que você realmente deseja perguntar.) Muitos resultados de dureza de aproximação são comprovados primeiro sob uma premissa mais forte (por exemplo, N P não em tempo subexponencial ou N P não em B P P ). Em alguns casos, melhorias posteriores enfraquecem a suposição necessária, às vezes até P NNPcoNPPNPNPNPBPP . Portanto, há esperança de que haja uma resposta um pouco mais satisfatória do que esta. É difícil imaginar como poderia haver um problema quenão podeser provado difícil aproximado em polytime determinista sob P N P , maspodeser provado duro sob N P c o N P . Isso significaria que N P c o N P nos diz algo sobre cálculos determinísticos que P N P ainda não diz; intuitivamente, isso é difícil de entender.PNPPNPNPcoNPNPcoNPPNP


Sim. É difícil entender que esses resultados de dureza são possíveis. Fiquei me perguntando se podemos provar a inexistência de tais resultados de dureza. Ufa ... está ficando complicado.
Shiva Kintali

(1) Receio que você esteja escrevendo o caso sim e o não caso de maneira oposta no segundo parágrafo. É fácil construir um algoritmo não determinístico que faça o que você declarou (relata "todos satisfeitos" em pelo menos um caminho se a fórmula for satisfatória e relata "no máximo 1 ε" em todos os caminhos se a fórmula estiver longe de ser satisfatória ) testando todas as atribuições de verdade de maneira não determinística. (2) Concordo com a parte "difícil de entender".
Tsuyoshi Ito

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Disclaimer: esta não é uma resposta direta.

Na verdade, existem muito mais condições de dureza além de P! = NP e UGC. David Johnson escreveu uma bela coluna para as Transações sobre algoritmos em 2006, precisamente sobre esta questão. Ele lista as inúmeras suposições diferentes usadas para mostrar dureza e como elas se relacionam.

Infelizmente, essas são todas NP versus classes determinísticas (com exceção de NP e co-AM). NP vs co-NP não é totalmente coberto.


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Como um interessante aspecto, David Johnson fala sobre NP vs co-NP na próxima coluna - coluna NP-completeness número 26 !
Daniel Apon 20/10/10

ah é claro. Eu deveria ter lembrado. Mas nenhuma aproximação ...
Suresh Venkat

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é uma hipótese mais forte que P N P desde N P C O N P implica P N P . Portanto, qualquer resultado de dureza de aproximação assumindo P N P também se seguiria dasuposição N P c o N P.NPcoNPPNPNPcoNPPNPPNPNPcoNP


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É possível que NP = coNP e ainda a pergunta P vs NP esteja aberta. Estou procurando resultados de dureza de aproximação que se tornarão falsos se NP = coNP, mas não for afetado (isto é, ainda permanece como uma conjectura) por P! = NP.
Shiva Kintali

AαNPcoNPα

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Esta não é uma resposta direta

O problema de escolha de k é 2P-completo. Sob a suposição de que NPcoNP, k-Choosability é estritamente mais difícil que k-Coloring em gráficos gerais. Portanto, aproximar o número cromático da lista é estritamente mais difícil que o número cromático. Sabe-se que a coloração k é trivial para gráficos bipartidos. Entretanto, determinar o número cromático da lista de gráficos bipartidos éNP-Difícil. (mesmo a 3-Chooseability é2P-completo)

Noga Alon, Corantes restritos de gráficos

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