True Bit A complexidade da multiplicação de matrizes é

A multiplicação de matrizes usando a técnica regular (produto interno da coluna de linha) utiliza multiplicações e O ( n 3 ) adições. No entanto, assumindo entradas de tamanho igual (número de bits em cada entrada de ambas as matrizes sendo multiplicadas) de tamanho m bits, a operação de adição realmente acontece nos bits O ( n 3 n m ) = O ( n 4 m ) .$O(n^{3})$$O(n^{3})$$m$$O(n^{3}nm) = O(n^{4}m)$

Portanto, parece que a verdadeira complexidade da multiplicação de matrizes, se medida pela complexidade dos bits, deve ser .$O(n^{4})$

isso é correto?$(1)$

Supondo que, se alguém cria um algoritmo que reduz a complexidade do bit a vez de multiplicações e adições totais, isso pode ser uma abordagem mais sólida do que, por exemplo, reduzir o número total de multiplicações e adições a O ( n 2 + ϵ ), como tentativa por pesquisadores como Coppersmith e Cohn.$O(n^{3+\epsilon})$$O(n^{2+\epsilon})$

Esse argumento é válido?$(2)$

$M$$n^{\omega} (\log n)^{O(1)} \cdot M (\log M)^{O(1)}$$\omega < 2.4$$M$$M (\log M)^2$$M$$2M$$n$$M$$M+\log n+O(1)$$n 2^M$$\log (n 2^M)+O(1)$

Referências a algoritmos de multiplicação rápida de números inteiros podem ser encontradas em uma pesquisa na web ou na wikipedia.