Provas interativas para níveis da hierarquia polinomial

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Sabemos que, se você possui uma máquina PSPACE, ela é poderosa o suficiente para fornecer uma prova interativa de qualquer nível da hierarquia polinomial. (E se bem me lembro, tudo o que você precisa é #P.) Mas suponha que você queira fornecer uma prova interativa de associação em um idioma. É suficiente ser capaz de resolver problemas em ? A solução de problemas em adequada? De modo mais geral, se você pode resolver ou problemas, pelo que isto é suficiente para gerar provas interativas de todos os languates em ? $\Sigma_2$ $\Sigma_2$ $\Sigma_5$ $\Sigma_k$ $\Pi_k$ $\Sigma_\ell$ $\Sigma_\ell$

Essa questão foi inspirada nessa questão de troca de pilha de história .

cc.complexity-theory interactive-proofs

— Peter Shor
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Você está interessado apenas no caso de um único provador ou no caso de vários provadores? Parece-me que a maneira óbvia de atacar isso seria por meio de PCPs, o que pode ser direto para dois provadores, mas provavelmente não funcionará para um único provador.

— Joe Fitzsimons

1

Eu estaria interessado nos dois casos. Eu me pergunto sobre essa questão para provadores únicos há um bom tempo, mas não havia pensado em vários provadores.

— Peter Shor

4

@ Peter: Examinando o documento IP = PSPACE, parece que a prova passaria pelo

(que é completo para

) em vez do QBF, desde que você tenha um comprovador suficientemente poderoso para calcular as identidades polinomiais decorrentes de a aritmitização do

. Estou esquecendo de algo?

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

— Joe Fitzsimons

1

@ Joe, eu não considerei essa idéia; Pode funcionar.

— quer

2

Joe, talvez você deve publicá-la como uma resposta

— Suresh Venkat

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Mesmo para fornecer um IP para o coNP, usando as técnicas atuais, é preciso aritmetizar, ou seja, usar a contagem, o que significa essencialmente toda a potência do #P. Qualquer provador mais fraco, mesmo para o coNP, seria muito interessante, eu acho (em particular, implicaria uma nova técnica não relativística).

— Noam
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@ Peter: Noam está certo. Cito as seguintes linhas a partir daqui : ... basear o hash resistente à colisão na dureza da pior das hipóteses de NP através de uma redução de caixa preta implica um sistema interativo de prova para co-NP com o provador em BPP ^ NP ... Todos os conhecidos (mesmo multi-provador) sistemas de prova de co-NP necessitam de provadores com a complexidade #P ...

— MS Dousti

Nesse caso, minha resposta provavelmente não faz sentido. Obrigado por apontar isso.

— Joe Fitzsimons

Na verdade, isso é realmente interessante, dado que uma prova interativa para o não-isomorfismo de Graph precisa apenas de um provador com um oráculo para esse problema. Parece uma evidência de que o IG é muito, muito fraco (como em P), ou os limites para provas interativas dos níveis da hierarquia polinomial provavelmente são muito frouxos.

— Joe Fitzsimons

1

Presumo que vários provadores não são conhecidos por ajudar. Isso está correto?

— quer

1

@ Joe A prova para não isomorfismo gráfico é uma moeda redonda pública prova constante, colocando-o assim na classe AM (acredita-se ser igual NP, e, portanto, GI e RNB são acreditados para ser em

). Isso é muito menor do que a prova redonda polinomial que se acredita ser necessária para provar a participação em problemas completos da coNP.

N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

— precisa

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Este é um problema aberto conhecido (maravilhoso) em que trabalhei de tempos em tempos sem sucesso.

Avi Wigderson e eu mencionamos o problema em nosso trabalho de algebrização , onde levantamos a questão de saber se contenções como coNP ⊆ IP _NP podem ou não ser provadas por meio de técnicas de algebrização. (Aqui IP _NP denota IP com um verificador BPP e um provador BPP ^NP .) Se (como eu conjecturo) a resposta for não, isso forneceria uma razão formal pela qual qualquer protocolo interativo como o que Peter solicita exigiria não relativizar técnicas que vão "fundamentalmente além" daquelas usadas para IP = PSPACE.

Uma pergunta análoga é se BQP = IP _BQP , onde IP _BQP significa IP com um verificador BPP e um provador BQP (tempo polinomial quântico). Essa questão também está em aberto - embora um avanço recente de Broadbent, Fitzsimons e Kashefi tenha mostrado que uma afirmação intimamente relacionada é verdadeira.

— Scott Aaronson
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Sim, a questão de saber se o coNP tem uma prova interativa em que o provador é mais fraco que o #P (digamos, polytime com acesso ao NP oracle) é uma questão em aberto bem conhecida. O artigo recente de Haitner, Mahmoody e Xiao a seguir discute essa questão e mostra algumas conseqüências da suposição de que isso não pode ser feito.

— Boaz Barak
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Como Suresh sugeriu que eu postasse meu comentário como resposta, eu o farei. No entanto, não considero que isso constitua uma resposta completa, pois não tentei provar isso, e pode ser um beco sem saída.

A prova IP = PSPACE original funciona produzindo uma prova interativa para o QBF . Um caso restrito de QBF, está completo para . A mesma estratégia de aritmetização funcionará igualmente bem para o . A parte computacionalmente difícil da estratégia dos provadores parece estar reduzindo o grau dos polinômios envolvidos e avaliando as fórmulas QBF que surgem. Parece provável que isso possa ser alcançado usando um oráculo para o nível correspondente da hierarquia polinomial ( ), refazendo a aritmitização em cada rodada, uma vez que o verificador tenha fornecido suas escolhas aleatórias. $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$ $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$

— Joe Fitzsimons
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a questão já surge na prova do coNP. O protocolo de verificação geral possui n rodadas (uma para cada variável). Em cada rodada, o provador precisa apresentar os coeficientes do polinômio que são obtidos por uma soma exponencialmente grande. Não sei como fazê-lo usando menos energia do que #P.

— precisa

@ Boo: Sim, acho que essa abordagem está destinada ao fracasso. Eu pensei que tinha visto uma versão da aritmetização feita em algum lugar de tal maneira que o polinômio assumisse apenas os valores 1 ou 0 para entradas de 0s e 1s. Se for esse o caso, parece que você poderia usar um oráculo para um problema de decisão correspondente. Então, novamente, eu posso apenas ter imaginado isso!

— Joe Fitzsimons