A Oracles é associativa?

Esta pergunta pode ter uma resposta óbvia ... mas aqui está a pergunta de qualquer maneira. Intuitivamente, é a seguinte declaração plausível - "uma máquina com uma sub-rotina A que, por sua vez, possui uma sub-rotina B é a mesma que uma máquina com uma sub-rotina A que tem acesso à sub-rotina B".

Para definir esse problema formalmente, usarei uma notação não convencional. Quando eu digo , eu estou dando um oráculo para um B - C o m p l e t e problema. por exemplo, N P N P = N P S A T = Σ 2 . Com essa notação "nova", é possível definir A B C e assim por diante. Minha pergunta é, é$A^B$$A$$B-Complete$$NP^{NP}=NP^{SAT}=\Sigma_2$$A^{B^C}$

• Essa é uma maneira válida de pensar sobre oráculos?
• é $(A^B)^C = A^{(B^C)}$

Por exemplo, $(NP^{NP})^{NP} = \Sigma_2^{NP} = NP^{\Sigma_2}=NP^{({NP}^{NP})}$

Não consigo pensar em nenhum contra-exemplo óbvio a essa regra. Qualquer um?

Como Venkat disse nos comentários, parece difícil entender sua definição para oracle que não é definida como uma caracterização de máquina.

Seja o conjunto de TM em A com um oráculo que é uma máquina em ( B com um oráculo em uma máquina em C ). É óbvio que uma máquina em A pode chamar C : ele só chama a máquina em B e pede-lhe para levar a mensagem diretamente para C .$A^{(B^C)}$$A$$B$$C$$A$$C$$B$$C$

Eu acho que seria uma máquina em A que pode chamar um oráculo em C ou um oráculo que é (uma máquina em B que pode chamar uma máquina em C ), portanto é exatamente a mesma definição.${(A^B)}^C$$A$$C$$B$$C$

Finalmente, você pode querer , que certamente é diferente dos outros dois (basta pegar B = C = N P e A = P , então A B , C = N P ∪ c o N P enquanto A ( B C ) = Σ P 2 ∪ ¸ p 2 .$A^{B,C}$$B=C=NP$$A=P$$A^{B,C}=NP\cup coNP$$A^{(B^C)}=\Sigma_2^P\cup\Pi_2^p$

Eu escreveria o seguinte como um comentário, mas era muito longo para caber.

Vamos primeiro descrever o significado de "algoritmos na classe com um oráculo para uma linguagem A." (A necessidade disso foi apontada por Tsuyoshi Ito). Usaremos a mesma convenção usada por Ladner e Lynch . A convenção é bem descrita por Bennett & Gill :$\bf C$

pode ser definido de várias maneiras, dependendo da forma como a fita de consulta é tratado. Seguimos as convenções de Ladner e Lynch [LL]: A fita de consulta não é cobrada no espaço vinculado, mas para evitar que seja usada como fita de trabalho, a fita de consulta é unidirecional e somente para gravação e é apagada seguindo automaticamente cada consulta. (Simon [Si] trata a fita de consulta como uma das fitas de trabalho, uma fita de leitura / gravação bidirecional que é carregada no espaço limitado. A definição de Ladner-Lynch é menos restritiva e talvez mais natural, já que para um oráculo aleatórioA∈ L O G S P A C E$\bf{LOGSPACE}^A$$A \in \bf{LOGSPACE}^A$ vale com probabilidade 1 para [LL] mas não para [Si])

[LL] RE LADNER E NA LYNCH, Relativização de perguntas sobre computabilidade do espaço de log , Matemática. Systems Theory, 10 (1976), pp. 19-32.

[SIM] J. SIMON, sobre alguns problemas centrais na complexidade computacional , Tech. Representante TR 75-224, Departamento de Ciência da Computação, Cornell University, Ithaca, NY, 1975.

A definição padrão de classes de complexidade de máquinas Oracle é a seguinte: Seja B e C sejam classes de complexidade . Então, é uma classe de complexidade legítimo, definida como X = ⋃ L ∈ C B G . Aqui, B L representa a classe complexidade dos problemas de decisão solucionável por um algoritmo na classe B com um oráculo para uma linguagem L.$X = B^C$$X = \bigcup_{L\in C}{B^L}$$B^L$

Desde X é uma classe de complexidade legítimo, para qualquer classe de complexidade A, podemos falar de classes de complexidade e X A = ( B C ) A .$A^X = A^{(B^C)}$$X^A = (B^C)^A$

• refere-se à classe de complexidade de problemas de decisão que podem ser resolvidos por um algoritmo de classe A, com um Oracle para qualquer língua L ' ∈ X = ⋃ L ∈ C B G . Em outras palavras, A $A^X$$L' \in X = \bigcup_{L\in C}{B^L}$ .$A ^ X = \bigcup\limits_{L'\in \{\bigcup\limits_{L\in C}{B^L}\}}{A^{L'}}$

• refere-se à classe de complexidade de problemas de decisão que podem ser resolvidos por um algoritmo de classe X = ⋃ L ∈ C B G com um Oracle para qualquer língua L ' ∈ Uma . Em outras palavras, X A = ⋃ L ′ ∈ A X L ′ = $X^A$$X = \bigcup_{L\in C}{B^L}$$L' \in A$ .$X ^ A = \bigcup_{L' \in A} {{X^{L'}}} = \bigcup_{L' \in A} {{{\left( {\bigcup_{L \in C} {{B^L}} } \right)}^{L'}}}$

Reivindicação: .$(B^{L_1})^{L'} \cup (B^{L_2})^{L'} = (B^{L'})^{L_1 \cup L_2}$

Side Note: Since it's 3:00 AM now, I'm too sleepy to check the validity of the above claim! I think it's valid & elementary to prove, yet it's nice to see the actual proof.

Portanto, pode-se escrever .$X ^ A = \bigcup_{L' \in A} {{{\left( {\bigcup_{L \in C} {{B^L}} } \right)}^{L'}}} = \bigcup_{L \in C, L' \in A} {{{\left( B^{L'} \right)}^L}}$

Exemplo

Deixe . Sabemos que c O N P ⊆ X . Dando aos dois lados acesso do oráculo a N P , obtém-se:$\bf X = \bf{P^{NP}}$$\bf{coNP} \subseteq \bf X$$\bf {NP}$ .$\bf{coNP^{NP}} \subseteq \bf{X^{NP}} = (\bf{P^{NP}})^{\bf{NP}}$

Epílogo

Uma discussão frutuosa com Tsuyoshi Ito revelou (para mim) que não é fácil relativizar duplamente uma aula de complexidade. De fato, mesmo definir um deles parece ser problemático. Eu definitivamente deveria estudar mais para ver se alguma definição satisfatória é dada. Enquanto isso, aprecio qualquer comentário que possa ser usado para resolver esse problema.